Πλαστική κρούση σε εκκρεμές νήματος

Ένα βλήμα φτάνει και σφηνώνεται σε μια σφαίρα που κρέμεται από νήμα. Το συσσωμάτωμα ξεκινά, ανεβαίνει, σταματά σε κάποια γωνία και γυρίζει πίσω. Δύο σκέλη, δύο εντελώς διαφορετικοί νόμοι, και ένα σημείο όπου πέφτουν έξω οι περισσότεροι: στην κρούση δεν διατηρείται ολόκληρη η ορμή, μόνο η οριζόντια. Εδώ το βλέπεις να συμβαίνει, με πέντε γραφικές στον ίδιο άξονα χρόνου. Ανοίγει σε υπολογιστή και σε κινητό, δωρεάν και χωρίς λογαριασμό.

Τι μπορείς να αλλάξεις

Η γωνία του βλήματος. Στο μηδέν το βλήμα έρχεται οριζόντια και έχεις ακριβώς το Πρόβλημα 5.43 του σχολικού. Ανέβασέ τη και το βλήμα φτάνει κατεβαίνοντας, με την ίδια πάντα ταχύτητα. Θα δεις τη μέγιστη εκτροπή να μικραίνει, και η σελίδα σού δείχνει γιατί.

Οι δύο μάζες. Το βλήμα από 5 ως 50 γραμμάρια, η σφαίρα από 300 γραμμάρια ως 3 κιλά. Όσο πιο ελαφρύ το βλήμα σε σχέση με τη σφαίρα, τόσο μεγαλύτερο ποσοστό της αρχικής ενέργειας χάνεται μέσα στην κρούση.

Η ταχύτητα του βλήματος και το μήκος του νήματος. Ο δρομέας της ταχύτητας σταματά μόνος του στις 85 μοίρες εκτροπής, λίγο πριν τις 90. Δεν είναι ιδιοτροπία: από τις 90 και πάνω το νήμα χαλαρώνει προτού φτάσει η σφαίρα στο ψηλότερο σημείο, η κίνηση παύει να είναι κυκλική και τίποτα από όσα δείχνει η σελίδα δεν ισχύει πια.

Τι να προσέξεις

Στην κρούση διατηρείται μόνο η οριζόντια ορμή. Τη στιγμή που χτυπά το βλήμα, το νήμα είναι κατακόρυφο. Η τάση του γίνεται ωστική, δηλαδή τεράστια για ελάχιστο χρόνο, οπότε η ώθησή της κατακόρυφα δεν είναι αμελητέα. Οριζόντια όμως δεν έχει καμία συνιστώσα. Άρα γράφεις m υ συνθ ίσο με (m συν M) V, και μόνο αυτό.

Η κατακόρυφη ορμή του βλήματος εξαφανίζεται στο νήμα. Δες την τρίτη γραφική με τη γωνία στις 60 μοίρες: η μία καμπύλη περνά αδιατάρακτη από τη στιγμή της κρούσης, η άλλη πέφτει απότομα στο μηδέν. Η ώθηση που έδωσε το νήμα είναι αυτό ακριβώς το άλμα, όχι ολόκληρη η καμπύλη. Αμέσως μετά, καθώς το συσσωμάτωμα ανεβαίνει στο τόξο, η κατακόρυφη ορμή του μεγαλώνει ξανά: μηδέν είναι μόνο τη στιγμή της κρούσης.

Το βλήμα φτάνει πάντα κατεβαίνοντας, ποτέ ανεβαίνοντας. Ο λόγος είναι απλός: το νήμα τραβά, δεν σπρώχνει. Μπορεί να δώσει ώθηση προς τα πάνω, οπότε ακυρώνει ορμή προς τα κάτω. Αν το βλήμα ερχόταν ανεβαίνοντας, το νήμα θα χαλάρωνε και το πρόβλημα θα ήταν άλλο.

Μετά την κρούση η μηχανική ενέργεια διατηρείται. Οι δύο τελευταίες γραφικές δείχνουν την ίδια ενέργεια σε δύο κλίμακες, γιατί στην ίδια δεν χωράνε. Στην τέταρτη ο άξονας φτάνει ως την αρχική κινητική ενέργεια του βλήματος και βλέπεις το σκαλοπάτι, δηλαδή πόση μηχανική ενέργεια εξαφανίστηκε μέσα στην κρούση. Ό,τι απομένει μετά είναι τόσο λίγο που κάθεται πάνω στη γραμμή του μηδενός, και αυτό δεν είναι ατέλεια της γραφικής, είναι το μέγεθος της απώλειας. Στην πέμπτη ο άξονας φτάνει μόνο ως την ενέργεια που πήρε το εκκρεμές, οπότε μπαίνεις μέσα σε εκείνο το ελάχιστο και βλέπεις τον δεύτερο νόμο: η ολική καμπύλη γίνεται οριζόντια και οι δύο άλλες ανταλλάσσονται, όση κινητική χάνεται τόση δυναμική κερδίζεται. Η ενέργεια που λείπει από τη μεγέθυνση χάθηκε στην κρούση και έγινε θερμότητα και παραμόρφωση. Ολόκληρη, μαζί με το κομμάτι που αντιστοιχεί στην κατακόρυφη ταχύτητα του βλήματος: το νήμα πήρε ορμή, δεν πήρε ενέργεια.

Χάνεται πολύ περισσότερη ενέργεια από όση φαντάζεσαι. Με τα νούμερα του βιβλίου η αρχική κινητική ενέργεια είναι 260 J και μένουν μόλις 5,1 J. Το 98 τοις εκατό γίνεται θερμότητα και παραμόρφωση, και η σφαίρα ανεβαίνει με τα ψίχουλα.

Το βλήμα το προλαβαίνεις μόνο μια στιγμή πριν χτυπήσει. Δεν είναι κόλπο του σχεδίου. Με 160 μέτρα το δευτερόλεπτο διανύει το τελευταίο μέτρο σε έξι χιλιοστά του δευτερολέπτου, ενώ το εκκρεμές κάνει δύο ολόκληρα δευτερόλεπτα για μία ταλάντωση. Αυτό ακριβώς εννοεί το βιβλίο όταν λέει ότι η κρούση είναι φαινόμενο αμελητέας χρονικής διάρκειας.

Η περίοδος στις 60 μοίρες δεν είναι αυτή που ξέρεις. Ο τύπος με το 2π ρίζα L προς g ισχύει μόνο για μικρές ταλαντώσεις. Στις 60 μοίρες η ένδειξη δείχνει 2,13 δευτερόλεπτα αντί για 1,99. Το εκκρεμές μεγάλου πλάτους δεν εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, και η σελίδα δεν προσποιείται ότι εκτελεί.

Σύνδεση με τις Πανελλαδικές

Το βαλλιστικό εκκρεμές είναι από τα πιο σταθερά μοτίβα του Θέματος Δ: μια κρούση, και μετά μια κίνηση που ζητά ενέργεια. Το σχολικό το έχει δύο φορές, και το κλασικό Πρόβλημα 5.43 είναι έτοιμο μέσα στη σελίδα.

Ο τρόπος που λύνεται είναι πάντα ο ίδιος και σου τον δείχνει η σελίδα βήμα βήμα. Πρώτα γράφεις διατήρηση ορμής στην οριζόντια διεύθυνση και βρίσκεις την κοινή ταχύτητα αμέσως μετά την κρούση. Μετά, και μόνο μετά, γράφεις διατήρηση μηχανικής ενέργειας για την ανύψωση. Ποτέ τα δύο μαζί, γιατί μέσα στην κρούση η μηχανική ενέργεια δεν διατηρείται.

Η παγίδα που κοστίζει μονάδες είναι η γωνία. Όταν το βλήμα δεν είναι οριζόντιο, οι μισοί γράφουν διατήρηση ορμής με ολόκληρο το μέτρο και βγάζουν μεγαλύτερη ταχύτητα από την πραγματική. Σύρε τον δρομέα της γωνίας και δες τη διαφορά με τα δικά σου μάτια, θα σου μείνει.

Συχνές ερωτήσεις

Γιατί δεν διατηρείται ολόκληρη η ορμή στην κρούση;

Επειδή ο κανόνας «στην κρούση διατηρείται η ορμή» στηρίζεται σε μια προϋπόθεση: οι ωθήσεις των εξωτερικών δυνάμεων να είναι αμελητέες. Εδώ η τάση του νήματος γίνεται ωστική και η ώθησή της δεν είναι καθόλου αμελητέα κατακόρυφα. Στην οριζόντια διεύθυνση όμως η κατακόρυφη τάση δεν έχει συνιστώσα, οπότε εκεί η προϋπόθεση ισχύει και η ορμή διατηρείται κανονικά.

Αφού το νήμα σταματά την κατακόρυφη κίνηση, παίρνει και την ενέργειά της;

Όχι, και αυτό είναι το σημείο που ξεχωρίζει την ορμή από την ενέργεια. Για να πάρει ενέργεια μια δύναμη πρέπει να παράγει έργο, δηλαδή το σημείο όπου ασκείται να μετακινηθεί κατά τη διεύθυνσή της. Η τάση του νήματος είναι κατακόρυφη και η σφαίρα κινείται οριζόντια, ενώ το πάνω άκρο του είναι καρφωμένο σε ακίνητο ταβάνι. Έργο πουθενά, άρα ενέργεια πουθενά. Η κατακόρυφη κινητική ενέργεια του βλήματος δεν φεύγει προς τα πάνω, καταστρέφεται μέσα στα δύο σώματα μαζί με την υπόλοιπη απώλεια, και μπαίνει κι αυτή στη ΔΕ που δείχνει η ένδειξη. Στις 60 μοίρες είναι περίπου τα τρία τέταρτα αυτής της ΔΕ, στις 45 περίπου η μισή.

Γιατί μετά την κρούση διατηρείται ξανά η ενέργεια;

Επειδή αλλάζουν οι δυνάμεις που παίζουν. Μετά την κρούση δρουν μόνο το βάρος, που είναι συντηρητική δύναμη, και η τάση, που είναι πάντα κάθετη στην ταχύτητα και άρα δεν παράγει έργο. Οι δυνάμεις που κατέστρεψαν ενέργεια ήταν οι δυνάμεις παραμόρφωσης μέσα στην ίδια την κρούση, και αυτές τελείωσαν.

Η άσκησή μου λέει ότι το βλήμα διαπερνά το σώμα και βγαίνει. Ισχύει το ίδιο;

Η διατήρηση της οριζόντιας ορμής ισχύει ακριβώς το ίδιο, αλλά μετά την κρούση έχεις δύο σώματα αντί για ένα, οπότε γράφεις m υ αρχική ίσο με m υ τελική συν M V. Η σελίδα δείχνει μόνο την περίπτωση που το βλήμα σφηνώνεται, δηλαδή το συσσωμάτωμα. Το δεύτερο σκέλος, η ανύψωση με διατήρηση ενέργειας, είναι πανομοιότυπο.

Πώς βρίσκω την ταχύτητα του βλήματος αν η άσκηση δίνει μόνο τη γωνία;

Ανάποδα, ακριβώς όπως το Πρόβλημα 5.43. Από τη γωνία και τη διατήρηση της ενέργειας βρίσκεις πρώτα την κοινή ταχύτητα V, και μετά από τη διατήρηση της οριζόντιας ορμής βρίσκεις την ταχύτητα του βλήματος. Στο σενάριο της σελίδας βγαίνει 161,3 μέτρα το δευτερόλεπτο, και η ένδειξη της χαμένης ενέργειας δείχνει τα 255 J της απάντησης.

Γιατί η γωνία δεν φτάνει πάνω από τις 85 μοίρες;

Γιατί το νήμα δεν σπρώχνει. Η τάση στην ακτινική διεύθυνση είναι (m συν M) επί (υ τετράγωνο προς L, συν g συνφ), όπου φ η γωνία του νήματος από την κατακόρυφο, αυτή που δείχνει η πρώτη γραφική και η ένδειξη φ. Στις 90 μοίρες η σφαίρα φτάνει με μηδενική ταχύτητα και με συνφ ίσο με μηδέν, οπότε η τάση μηδενίζεται ακριβώς εκεί. Πιο ψηλά θα χρειαζόταν αρνητική τάση, δηλαδή νήμα που σπρώχνει, οπότε στην πραγματικότητα χαλαρώνει πριν το σημείο στροφής και η σφαίρα αρχίζει βολή. Ο δρομέας κόβει στις 85 με περιθώριο ασφαλείας, αντί να σου βγάλει προειδοποίηση.

Το εργαλείο είναι δωρεάν και θα μείνει δωρεάν

Αν θες να δουλέψεις μεθοδικά όλη τη Φυσική Προσανατολισμού, με σειρά και με ασκήσεις: Δες το μάθημα Φυσικής Γ Λυκείου