Διατήρηση στροφορμής

Ένα σφαιρίδιο γυρίζει πάνω σε λείο τραπέζι, δεμένο σε νήμα που περνά από μια οπή στο κέντρο. Τραβάς το νήμα από κάτω, η ακτίνα μικραίνει, και το σφαιρίδιο αρχίζει να τρέχει πιο γρήγορα. Δεν το σπρώχνει κανείς προς τα εμπρός. Τρεις γραφικές δείχνουν γιατί: η ταχύτητα ανεβαίνει, η κινητική ενέργεια ανεβαίνει ακόμη πιο απότομα, και η στροφορμή δεν κουνιέται καθόλου. Ανοίγει σε υπολογιστή και σε κινητό, δωρεάν και χωρίς λογαριασμό.

Τι μπορείς να αλλάξεις

Τρέχουσα ακτίνα r. Ο κύριος δρομέας, το χέρι σου που τραβάει το νήμα. Σύρ' τον προς τα αριστερά και δες ταυτόχρονα τρία πράγματα: τον κύκλο να μαζεύει, το βέλος της ταχύτητας να μακραίνει, και τον χρυσό δείκτη της στροφορμής να μένει καρφωμένος στο ίδιο ύψος.

Αρχική ακτίνα r₀ και αρχική ταχύτητα υ₀. Μαζί ορίζουν τη στροφορμή, γιατί L = mυ₀r₀. Είναι η αφετηρία, ο αχνός κύκλος που μένει στη σκηνή για σύγκριση. Αν η άσκησή σου δίνει γωνιακή ταχύτητα ω₀ αντί για υ₀, βάλε υ₀ = ω₀·r₀.

Μάζα m. Μπαίνει και στη στροφορμή και στην κινητική ενέργεια. Πρόσεξε ότι διπλασιάζοντας τη μάζα διπλασιάζεται η L αλλά ο λόγος των ταχυτήτων δεν αλλάζει καθόλου.

Τι να προσέξεις

Η στροφορμή διατηρείται επειδή η δύναμη δείχνει στην οπή. Το νήμα τραβάει πάντα προς το κέντρο, άρα ο φορέας της δύναμης περνάει από τον άξονα περιστροφής και ο μοχλοβραχίονας είναι μηδέν. Μηδενική ροπή σημαίνει σταθερή στροφορμή. Δεν είναι κανόνας που αποστηθίζεις, είναι το βέλος F που βλέπεις στη σκηνή.

Η κινητική ενέργεια ΔΕΝ διατηρείται. Είναι το πιο συχνό μπέρδεμα της ενότητας. Το ίδιο νήμα που δεν δίνει ροπή, δίνει έργο: καθώς το τραβάς, το σφαιρίδιο μετακινείται και προς τα μέσα, δηλαδή προς τη φορά της δύναμης. Γι' αυτό η τρίτη γραφική ανεβαίνει ενώ η δεύτερη μένει επίπεδη.

Η ταχύτητα πάει με το 1/r, η ενέργεια με το 1/r². Μισή ακτίνα σημαίνει διπλάσια ταχύτητα αλλά τετραπλάσια κινητική ενέργεια. Γι' αυτό η καμπύλη της K είναι πολύ πιο απότομη από την καμπύλη της υ.

Η στροφορμή εδώ είναι η τροχιακή στροφορμή υλικού σημείου. Δηλαδή το L = mυr ενός σώματος που διαγράφει κύκλο. Η στροφορμή ενός στερεού που στριφογυρίζει γύρω από τον άξονά του είναι άλλο μέγεθος και βρίσκεται εκτός της εξεταστέας ύλης του 2026.

Κάθε στιγμή της κυκλικής κίνησης είναι ίδια με κάθε άλλη. Γι' αυτό εδώ δεν υπάρχουν ξεχωριστές στιγμές να σταματήσεις τον χρόνο. Ο χρόνος απλώς γυρίζει το σφαιρίδιο. Αυτό που αλλάζει τη φυσική είναι η ακτίνα.

Σύνδεση με τις Πανελλαδικές

Η εξεταστέα ύλη του 2026 κρατά από τη στροφορμή τα δύο κομμάτια που δουλεύεις εδώ: τον ορισμό της τροχιακής στροφορμής υλικού σημείου, L = mυr, και την αρχή της διατήρησης, δηλαδή ότι όταν η συνολική εξωτερική ροπή είναι μηδέν η στροφορμή παραμένει σταθερή. Μένουν έξω η στροφορμή στερεού με το L = Ιω, η ροπή αδράνειας και το γνωστό παράδειγμα με την παγοδρόμο.

Το σενάριο της σελίδας είναι το Πρόβλημα 4.64 του σχολικού βιβλίου, σελίδα 145. Σφαιρίδιο 200 g διαγράφει κύκλο 30 cm με ω₀ = 40 rad/s, το σκοινί περνά από κατακόρυφο σωλήνα, και ζητείται το έργο της δύναμης F μέχρι η ακτίνα να γίνει 15 cm. Φόρτωσέ το και δες την ένδειξη W να δείχνει 43,20 J, την απάντηση του βιβλίου. Πρόσεξε από πού βγήκε: όχι από ροπή, αλλά από τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας.

Ο τυπικός σκελετός των ερωτημάτων στην ενότητα είναι πάντα ο ίδιος. Πρώτα αναγνωρίζεις ότι η δύναμη είναι κεντρική και άρα η ροπή της μηδέν. Μετά γράφεις mυ₁r₁ = mυ₂r₂ και βρίσκεις τη νέα ταχύτητα ή τη νέα ακτίνα. Και στο τέλος, αν σου ζητηθεί έργο ή ενέργεια, πηγαίνεις στο θεώρημα έργου ενέργειας, ποτέ στη διατήρηση της μηχανικής ενέργειας.

Συχνές ερωτήσεις

Αφού δεν ασκείται δύναμη προς τα εμπρός, πώς επιταχύνεται το σφαιρίδιο;

Επειδή η ταχύτητα δεν αλλάζει με σπρώξιμο κατά τη φορά της κίνησης. Το νήμα τραβάει προς τα μέσα, το σφαιρίδιο πλησιάζει στην οπή, και η διατήρηση της στροφορμής επιβάλλει το γινόμενο υr να μείνει σταθερό. Μικρότερο r, μεγαλύτερο υ.

Γιατί δεν διατηρείται η κινητική ενέργεια, αφού διατηρείται η στροφορμή;

Γιατί είναι δύο διαφορετικά μεγέθη με δύο διαφορετικές προϋποθέσεις. Η στροφορμή θέλει μηδενική ροπή, και την έχει. Η κινητική ενέργεια θέλει μηδενικό έργο, και δεν το έχει: το χέρι σου τραβάει το νήμα και μετακινεί το σφαιρίδιο προς τα μέσα, άρα παράγει έργο.

Η άσκησή μου δίνει γωνιακή ταχύτητα, όχι γραμμική. Τι βάζω στον δρομέα;

Βάλε υ₀ = ω₀·r₀. Στο Πρόβλημα 4.64, για παράδειγμα, το ω₀ = 40 rad/s με r₀ = 0,3 m δίνει υ₀ = 12 m/s. Η ένδειξη ω σου δείχνει πάντα την τρέχουσα γωνιακή ταχύτητα, οπότε μπορείς να ελέγξεις και το αποτέλεσμα σε rad/s.

Με τα νούμερα του βιβλίου το σφαιρίδιο γίνεται θολούρα. Χάλασε κάτι;

Όχι. Με υ₀ = 12 m/s και ακτίνα 15 cm το σφαιρίδιο κάνει περίπου 25 στροφές το δευτερόλεπτο, οπότε έτσι πρέπει να φαίνεται. Σταμάτησε τον χρόνο ή κατέβασε την ταχύτητα αναπαραγωγής και δούλεψε με τις ενδείξεις και τις γραφικές.

Το εργαλείο είναι δωρεάν και θα μείνει δωρεάν

Αν θες να δουλέψεις μεθοδικά όλη τη Φυσική Προσανατολισμού, με σειρά και με ασκήσεις: Δες το μάθημα Φυσικής Γ Λυκείου