Ενέργεια στην ΑΑΤ

Το ίδιο σώμα σε ελατήριο, αλλά τώρα κοιτάς τι κάνει η ενέργειά του. Μια μπάρα σταθερού μήκους κόβεται στα δύο και το σημείο κοπής πηγαινοέρχεται: αριστερά η δυναμική, δεξιά η κινητική. Από κάτω, οι δύο παραβολές ως προς τη θέση και οι δύο καμπύλες ως προς τον χρόνο, με την ολική ενέργεια να μένει μια ίσια γραμμή. Ανοίγει κατευθείαν, χωρίς λογαριασμό.

Τι μπορείς να αλλάξεις

Πλάτος A. Είναι ο δρομέας που έχει τη μεγαλύτερη σημασία εδώ. Η ολική ενέργεια πάει με το τετράγωνό του, E = ½DA². Διπλασίασε το A και δες την E να τετραπλασιάζεται, ενώ η περίοδος δεν κουνιέται.

Σταθερά επαναφοράς D. Ανεβάζει και αυτή την ολική ενέργεια, γραμμικά αυτή τη φορά, και ταυτόχρονα στενεύει τις δύο παραβολές.

Μάζα m. Δοκίμασέ την και πρόσεξε το εξής: η ολική ενέργεια δεν αλλάζει καθόλου, γιατί στον τύπο ½DA² δεν υπάρχει m. Αυτό που αλλάζει είναι η περίοδος, άρα το πόσο γρήγορα ανταλλάσσονται οι δύο ενέργειες.

Αρχική φάση φ₀. Με π/2 ξεκινάς από ακραία θέση και όλη η ενέργεια είναι δυναμική. Με 0 ξεκινάς από τη θέση ισορροπίας και όλη είναι κινητική.

Τι να προσέξεις

Το άθροισμα δεν αλλάζει ποτέ. Στο δεύτερο διάγραμμα η καμπύλη της ολικής ενέργειας είναι οριζόντια. Δεν την έχουμε ζωγραφίσει έτσι: υπολογίζεται σαν άθροισμα U + K σε κάθε καρέ, και βγαίνει ίσια από μόνη της.

Η ενέργεια έχει περίοδο T/2, όχι T. Οι καμπύλες της U και της K κάνουν δύο πλήρεις κύκλους σε κάθε περίοδο της απομάκρυνσης. Ο λόγος είναι ότι εξαρτώνται από τετράγωνα, οπότε δεν ξεχωρίζουν τη φορά της κίνησης.

Οι δύο παραβολές τέμνονται στο x = ±A/√2. Δηλαδή περίπου στο 71% του πλάτους, όχι στη μέση. Εκεί, και μόνο εκεί, η ενέργεια μοιράζεται σε δύο ίσα μέρη. Σταμάτα τον χρόνο πάνω στην ονομασμένη στιγμή και δες τις δύο ενδείξεις να δείχνουν την ίδια τιμή.

Η U είναι παραβολή ως προς τη θέση, ημιτονοειδής ως προς τον χρόνο. Δύο διαφορετικά σχήματα για το ίδιο μέγεθος, στα δύο πρώτα διαγράμματα. Είναι ακριβώς εκεί που μπερδεύονται οι απαντήσεις πολλαπλής επιλογής.

Σύνδεση με τις Πανελλαδικές

Τα ερωτήματα ενέργειας μπαίνουν σχεδόν πάντα ως ένα σκέλος μεγαλύτερης άσκησης ταλάντωσης: βρες την ολική ενέργεια, βρες πού η κινητική είναι ίση με τη δυναμική, βρες την ταχύτητα σε δεδομένη θέση από την αρχή διατήρησης.

Το έτοιμο σενάριο είναι το πρόβλημα 1.38 του σχολικού. Η ολική ενέργεια βγαίνει E = ½·100·0,05² = 0,125 J. Επαλήθευσέ τη και από την ταχύτητα: υmax = ωA = 0,5 m/s, άρα ½mυmax² = 0,125 J, η ίδια ακριβώς τιμή. Δύο δρόμοι, ένα αποτέλεσμα, και στην εξέταση διαλέγεις τον σύντομο ανάλογα με το τι σου δίνουν.

Συχνές ερωτήσεις

Γιατί η κινητική ενέργεια γίνεται δύο φορές μέγιστη σε κάθε περίοδο;

Επειδή το σώμα περνά δύο φορές από τη θέση ισορροπίας, μία προς τα δεξιά και μία προς τα αριστερά. Και στις δύο το μέτρο της ταχύτητας είναι υmax, οπότε η K φτάνει στο μέγιστο.

Πού ακριβώς είναι U = K;

Στο x = ±A/√2. Το βλέπεις στο πρώτο διάγραμμα σαν τομή των δύο παραβολών, και ο δρομέας κουμπώνει σε εκείνη τη στιγμή για να το διαβάσεις με ακρίβεια.

Αν αλλάξω τη μάζα, αλλάζει η ενέργεια της ταλάντωσης;

Όχι, εφόσον κρατάς σταθερά τα D και A. Η E = ½DA² δεν περιέχει τη μάζα. Αλλάζει όμως η περίοδος, άρα και ο ρυθμός με τον οποίο ανταλλάσσονται η δυναμική με την κινητική.