Κόψιμο νήματος και εκκίνηση ταλάντωσης

Ένα σώμα ισορροπεί ακίνητο, κρατημένο από ένα τεντωμένο νήμα. Τη στιγμή που το νήμα κόβεται, η δύναμή του εξαφανίζεται και το σώμα ξεκινά απλή αρμονική ταλάντωση, χωρίς να το σπρώξει κανείς. Εδώ βλέπεις γιατί: το πλάτος, η περίοδος και η αρχική επιτάχυνση βγαίνουν όλα από τη δύναμη που έφυγε. Δωρεάν, χωρίς λογαριασμό.

Τι μπορείς να αλλάξεις

Τη διάταξη. Δύο επιλογές. Στη Διάταξη Α το νήμα είναι δεμένο στο ταβάνι και το ελατήριο στέκεται στο δάπεδο, με το σώμα να πατά πάνω του. Στη Διάταξη Β γίνεται το ανάποδο, το ελατήριο κρέμεται από το ταβάνι και το νήμα τραβά το σώμα προς το δάπεδο. Ο μηχανισμός είναι ο ίδιος και στις δύο, αλλάζει μόνο η φορά προς την οποία ξεκινά το σώμα.

Τη δύναμη του νήματος. Είναι η δύναμη που φεύγει τη στιγμή της κοπής, και ορίζει μόνη της το πλάτος, A = Fνήμ/K. Στη Διάταξη Α ο δρομέας δεν σε αφήνει να ξεπεράσεις το βάρος του σώματος, γιατί τότε το σώμα θα είχε ήδη ξεκολλήσει από το ελατήριο.

Τη μάζα m και τη σταθερά K. Αυτές οι δύο, και μόνο αυτές, ορίζουν την περίοδο, T = 2π√(m/K). Σε κατακόρυφο ελατήριο η σταθερά επαναφοράς είναι η ίδια η σταθερά του ελατηρίου, όπως αποδεικνύει το Παράδειγμα 1.1 του σχολικού.

Τι να προσέξεις

Το σώμα ξεκινά ήδη από ακραία θέση. Δεν χρειάζεται να το τραβήξει κανείς. Όσο υπάρχει το νήμα, η θέση ισορροπίας του σώματος είναι μία, και μόλις κοπεί γίνεται άλλη, μετατοπισμένη κατά Fνήμ/K. Το σώμα βρίσκεται εκείνη τη στιγμή ακίνητο σε αυτή ακριβώς την απόσταση από τη νέα του θέση ισορροπίας, δηλαδή σε ακραία θέση με μηδενική ταχύτητα. Γι' αυτό η αρχική φάση είναι π/2.

Η επιτάχυνση τη στιγμή της κοπής είναι Fνήμ/m. Δεν χρειάζεσαι καμία εξίσωση ταλάντωσης για να το βρεις, μόνο τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα. Οι δυνάμεις ισορροπούσαν, άρα μόλις φύγει η μία, η συνισταμένη ισούται ακριβώς με αυτήν. Είναι το πιο γρήγορο σημείο σε κάθε τέτοια άσκηση, και ταυτόχρονα η μέγιστη επιτάχυνση της ταλάντωσης.

Το άλμα στο τρίτο διάγραμμα. Πριν την κοπή η συνισταμένη είναι μηδέν και η δύναμη του νήματος έχει την τιμή της. Μετά, ακαριαία, η δύναμη του νήματος πέφτει στο μηδέν και η συνισταμένη πηδά στο ίδιο μέτρο με αντίθετο πρόσημο. Οι δύο καμπύλες ανταλλάσσουν ρόλους μέσα σε μηδενικό χρόνο.

Η δύναμη του ελατηρίου δεν είναι η δύναμη επαναφοράς. Κοίτα τις ενδείξεις. Η Fελ,max φτάνει τα mg + Fνήμ, ενώ η συνισταμένη δεν ξεπερνά ποτέ το Fνήμ. Είναι δύο διαφορετικά μεγέθη, και σε κατακόρυφο ελατήριο η δύναμη επαναφοράς είναι πάντα η συνισταμένη του βάρους και της δύναμης του ελατηρίου. Η ένδειξη Fελ δείχνει μέτρο, όχι φορά. Στη Διάταξη Β, όταν η δύναμη του νήματος ξεπερνά το βάρος, το ελατήριο περνά από τεντωμένο σε συσπειρωμένο στο ψηλότερο σημείο και σπρώχνει προς τα κάτω.

Η θετική φορά αλλάζει με τη διάταξη. Το βέλος «+x» πάνω δεξιά στη σκηνή δείχνει ποια φορά έχουμε πάρει θετική: προς τα πάνω στη Διάταξη Α, προς τα κάτω στη Διάταξη Β, δηλαδή πάντα προς την αρχική θέση του σώματος. Με αυτή την επιλογή η απομάκρυνση ξεκινά θετική και η αρχική φάση βγαίνει π/2 και στις δύο περιπτώσεις. Αν πάρεις την αντίθετη φορά, όλα τα πρόσημα γυρίζουν, γι' αυτό στο γραπτό σου δηλώνεις πάντα ποια φορά θεώρησες θετική.

Η περίοδος δεν ξέρει τίποτα για το νήμα. Ανέβασε τη δύναμη του νήματος και δες ότι οι κορυφές μεγαλώνουν αλλά πέφτουν στα ίδια σημεία του άξονα του χρόνου. Το ίδιο ισχύει και για το g: δεν εμφανίζεται πουθενά στην περίοδο.

Σύνδεση με τις Πανελλαδικές

Το κόψιμο νήματος δεν υπάρχει ως άσκηση μέσα στο σχολικό βιβλίο, όμως εμφανίζεται ξανά και ξανά στην τράπεζα θεμάτων του ΙΕΠ, σε Θέμα Β και σε Θέμα Δ. Η δομή είναι πάντα η ίδια: βρες την τάση του νήματος από την αρχική ισορροπία, μετά το πλάτος ως τάση διά τη σταθερά, και μετά ό,τι ζητηθεί.

Το πρώτο έτοιμο σενάριο είναι ακριβώς ένα τέτοιο θέμα, με σώμα 1 kg σε ελατήριο 400 N/m και αρχική επιμήκυνση 0,1 m. Η τάση βγαίνει 30 N, το πλάτος 0,075 m και η εξίσωση της επιτάχυνσης a = −30 ημ(20t + π/2), με θετική φορά προς τα κάτω.

Το δεύτερο σενάριο κρύβει μια σύνδεση που αξίζει. Με σώμα 1 kg, ελατήριο 100 N/m και νήμα που τραβά με 5 N, βγαίνουν πλάτος 0,05 m, μέγιστη ταχύτητα 0,5 m/s και μέγιστη επιτάχυνση 5 m/s². Είναι τα ίδια ακριβώς νούμερα με το πρόβλημα 1.38 του σχολικού, όπου το σώμα κατεβαίνει 5 cm και αφήνεται ελεύθερο. Δύο τελείως διαφορετικές εκφωνήσεις, η ίδια ταλάντωση.

Συχνές ερωτήσεις

Γιατί το πλάτος βγαίνει ίσο με τη δύναμη διά τη σταθερά;

Επειδή η θέση ισορροπίας μετατοπίζεται κατά ακριβώς αυτό το ποσό όταν φύγει η δύναμη, και το σώμα βρίσκεται εκείνη τη στιγμή ακίνητο στην παλιά του θέση. Ακίνητο σώμα σε απόσταση A από τη θέση ισορροπίας σημαίνει ταλάντωση πλάτους A.

Αλλάζει η περίοδος τη στιγμή που κόβεται το νήμα;

Όχι. Εδώ δεν φεύγει μάζα, φεύγει δύναμη. Η μάζα που ταλαντώνεται και η σταθερά του ελατηρίου μένουν ίδιες, άρα η περίοδος είναι η ίδια πριν και μετά, T = 2π√(m/K), και η δύναμη που έφυγε ορίζει μόνο το πλάτος. Πρόσεξε ότι υπάρχει και μια συγγενική άσκηση, όπου δύο σώματα ταλαντώνονται μαζί και το ένα αποκολλάται. Εκεί αλλάζει η μάζα που ταλαντώνεται, οπότε αλλάζει και η περίοδος. Το κλασικό λάθος είναι να μπερδέψεις τις δύο περιπτώσεις.

Πόσο χρόνο θέλει για να μηδενιστεί η ταχύτητα για πρώτη φορά;

Μισή περίοδο. Το σώμα ξεκινά ακίνητο από ακραία θέση, οπότε ξαναμηδενίζει την ταχύτητά του στην απέναντι ακραία θέση, δηλαδή σε T/2. Σταμάτα τον χρόνο εκεί και δες το.

Γιατί το νήμα κόβεται αφού περάσει λίγη ώρα και όχι αμέσως;

Για να προλάβεις να δεις την αρχική κατάσταση. Ο χρόνος πριν την κοπή είναι ακριβώς μία περίοδος, οπότε η κοπή πέφτει πάνω στο πρώτο τικ του άξονα του χρόνου. Μετά ακολουθούν τρεις πλήρεις ταλαντώσεις.

Το εργαλείο είναι δωρεάν και θα μείνει δωρεάν

Αν θες να δουλέψεις μεθοδικά όλη τη Φυσική Προσανατολισμού, με σειρά και με ασκήσεις: Δες το μάθημα Φυσικής Γ Λυκείου