Κρούση σφαίρας με σώμα σε κατακόρυφο ελατήριο

Μια σφαίρα αφήνεται από ύψος h και πέφτει πάνω σε σώμα που ισορροπεί δεμένο στο πάνω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου. Η κρούση κρατά τόσο λίγο ώστε τίποτα δεν προλαβαίνει να μετακινηθεί, και αμέσως μετά αρχίζει μια ταλάντωση με εντελώς καινούρια δεδομένα. Ο διακόπτης σε πάει από την ελαστική στην πλαστική κρούση και αντίστροφα, ενώ τρεις γραφικές παρακολουθούν τις θέσεις, τις ταχύτητες και την ενέργεια της ταλάντωσης στον ίδιο άξονα χρόνου. Ανοίγει σε υπολογιστή και σε κινητό, δωρεάν και χωρίς λογαριασμό.

Τι μπορείς να αλλάξεις

Είδος κρούσης. Ο διακόπτης αλλάζει τη φυσική, όχι την εμφάνιση. Στην πλαστική η σφαίρα σφηνώνεται και η μάζα που ταλαντώνεται γίνεται m + M, οπότε η θέση ισορροπίας κατεβαίνει. Στην ελαστική τα δύο σώματα χωρίζουν, η μάζα που ταλαντώνεται μένει M και η θέση ισορροπίας δεν κουνιέται.

Οι δύο μάζες. Κάνε τις ίσες, βάλε ελαστική κρούση, και δες τη σφαίρα να σταματά ακαριαία. Με ίσες μάζες τα σώματα ανταλλάσσουν ταχύτητες, οπότε η σφαίρα παίρνει την ταχύτητα του ακίνητου σώματος, δηλαδή μηδέν.

Η σταθερά του ελατηρίου. Καθορίζει την περίοδο και, μαζί με τις μάζες, το πόσο κατεβαίνει η θέση ισορροπίας μετά από πλαστική κρούση, γιατί αυτή η μετατόπιση είναι ακριβώς mg/K.

Το ύψος πτώσης. Η σφαίρα φτάνει στο σώμα με ταχύτητα ρίζα του 2gh, όσο μεγάλη ή μικρή κι αν είναι η μάζα της. Είναι το πρώτο πράγμα που υπολογίζεις σε κάθε τέτοια άσκηση.

Τι να προσέξεις

Η κρούση είναι στιγμιαία, οπότε το βάρος και το ελατήριο δεν παίζουν ρόλο μέσα σε αυτήν. Το βιβλίο το γράφει καθαρά: η κρούση διαρκεί τόσο λίγο ώστε τα σώματα δεν προλαβαίνουν να αλλάξουν θέση. Γι αυτό η άσκηση σπάει σε τρία ανεξάρτητα κομμάτια, πτώση, κρούση, ταλάντωση, και το καθένα λύνεται με τα δικά του εργαλεία.

Η θέση ισορροπίας μετακινείται στην πλαστική κρούση. Είναι η μεγαλύτερη παγίδα της ενότητας. Πριν, το ελατήριο κρατούσε μόνο το M και ήταν συσπειρωμένο κατά Mg/K. Μετά κρατά m και M μαζί, οπότε χρειάζεται συσπείρωση (m + M)g/K. Η διαφορά είναι mg/K, και κατά τόσο κατεβαίνει η θέση ισορροπίας. Στη σκηνή τη βλέπεις ως δεύτερη διακεκομμένη στάθμη.

Η ταλάντωση δεν ξεκινά ούτε από τη θέση ισορροπίας ούτε από ακραία θέση. Το συσσωμάτωμα βρίσκεται mg/K πάνω από τη νέα θέση ισορροπίας και ταυτόχρονα κινείται. Ακριβώς γι αυτό το πλάτος δεν διαβάζεται από κάποια έτοιμη περίπτωση, βγαίνει από την ενέργεια: το άθροισμα ½Kx₀² και ½(m + M)V² ισούται με ½KA².

Στην ελαστική τα πράγματα είναι πιο απλά. Η μάζα που ταλαντώνεται μένει M, οπότε το σώμα ξεκινά ακριβώς από τη θέση ισορροπίας του με ταχύτητα υ₂΄. Εκεί το πλάτος είναι απλά υ₂΄ δια ω.

Η ορμή διατηρείται και στα δύο είδη κρούσης, η κινητική ενέργεια μόνο στην ελαστική. Η ένδειξη ΔΚ σου λέει πόσα joule έγιναν θερμότητα. Στην πλαστική το ποσοστό που χάνεται είναι M δια m + M, δηλαδή κρέμεται μόνο από τις μάζες και καθόλου από την ταχύτητα.

Η ενέργεια της ταλάντωσης δεν είναι όλη η ενέργεια της σφαίρας. Στην τρίτη γραφική η ολική κάνει ένα σκαλοπάτι προς τα πάνω τη στιγμή της κρούσης και μετά μένει σταθερή. Σύγκρινε το ύψος του σκαλοπατιού με την κινητική ενέργεια που είχε η σφαίρα. Στην πλαστική λείπει η ΔΚ που έγινε θερμότητα, στην ελαστική λείπει η ενέργεια που έφυγε μαζί με τη σφαίρα όταν αναπήδησε.

Στην ελαστική κρούση η προσομοίωση σταματά όταν η σφαίρα ξαναφτάνει στο σώμα. Δεν είναι παράλειψη, είναι η ίδια παραδοχή που κάνει και το θέμα. Στην πραγματικότητα εκεί θα γινόταν δεύτερη κρούση, όμως η άσκηση σταματά στην πρώτη, οπότε σταματά και το παράθυρο.

Σύνδεση με τις Πανελλαδικές

Είναι μια από τις πιο συχνές διατάξεις σε Θέμα Δ, γιατί ενώνει δύο κεφάλαια σε μία άσκηση. Δύο έτοιμα σενάρια από την Τράπεζα θεμάτων του ΙΕΠ φορτώνονται μέσα στη σελίδα, ένα με πλαστική και ένα με ελαστική κρούση, και είναι ακριβώς αυτή η διάταξη, χωρίς καμία μεταφορά.

Τα σταθερά ερωτήματα είναι τέσσερα και βγαίνουν όλα από τις ενδείξεις. Η ταχύτητα πρόσκρουσης από την ελεύθερη πτώση, οι ταχύτητες αμέσως μετά την κρούση, η νέα θέση ισορροπίας, και το πλάτος της ταλάντωσης. Το πέμπτο ερώτημα που εμφανίζεται συχνά, η μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου, δεν το δείχνει η προσομοίωση, γιατί είναι άλλο μέγεθος από την ενέργεια της ταλάντωσης. Το φτιάχνεις μόνος σου σε μία γραμμή: μέγιστη συσπείρωση είναι η συσπείρωση της θέσης ισορροπίας συν το A, δηλαδή Δℓ₀ + A στην ελαστική, όπου η θέση ισορροπίας δεν κουνήθηκε, και Δℓ₁ + A στην πλαστική, όπου κατέβηκε. Η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου εκεί είναι ½K επί το τετράγωνο αυτής της συσπείρωσης.

Το τρίτο σενάριο είναι το Πρόβλημα 5.42 του σχολικού. Είναι οριζόντιο και όχι κατακόρυφο, και η σελίδα σου λέει καθαρά ποιο κομμάτι του μεταφέρεται αυτούσιο, το ποσοστό της ενέργειας που χάνεται, και ποιο όχι, η μέγιστη συσπείρωση.

Συχνές ερωτήσεις

Γιατί κατεβαίνει η θέση ισορροπίας μόνο στην πλαστική κρούση;

Επειδή μόνο εκεί αλλάζει η μάζα που κρέμεται στο ελατήριο. Η θέση ισορροπίας είναι εκείνη όπου η δύναμη του ελατηρίου εξισορροπεί το βάρος. Με βάρος (m + M)g χρειάζεται μεγαλύτερη συσπείρωση από ό,τι με βάρος Mg, και η διαφορά είναι mg/K. Στην ελαστική κρούση η σφαίρα φεύγει, το σώμα μένει μόνο του, οπότε η θέση ισορροπίας του είναι ακριβώς εκεί που ήταν.

Γιατί δεν βλέπω πουθενά εξίσωση της μορφής x = A ημ(ωt + φ₀);

Επειδή στην πλαστική περίπτωση η αρχική φάση δεν είναι ούτε μηδέν ούτε π/2, και η εξεταστέα ύλη επιτρέπει μόνο αυτές τις δύο. Η φυσική δεν είναι λάθος, απλώς η εξίσωση δεν είναι ύλη. Γι αυτό η σελίδα δείχνει το πλάτος ενεργειακά και τη θέση γεωμετρικά, ως προς τις δύο στάθμες ισορροπίας, και κρατά μόνο όσα είναι ύλη, δηλαδή ω, T, υmax, amax και E.

Η σταθερά επαναφοράς είναι η K του ελατηρίου ή κάτι άλλο;

Είναι η K, με μία προϋπόθεση που ισχύει εδώ: το σώμα είναι δεμένο στο ελατήριο και όχι απλά ακουμπισμένο πάνω του. Επειδή δεν μπορεί να ξεκολλήσει, το ελατήριο μπορεί και να το τραβήξει, οπότε η συνισταμένη βγαίνει μείον K επί την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας, και προς τα κάτω και προς τα πάνω.

Τι γίνεται με τη σφαίρα μετά την ελαστική κρούση;

Κάνει κατακόρυφη βολή. Αν είναι ελαφρύτερη από το σώμα αναπηδά προς τα πάνω, αν είναι βαρύτερη συνεχίζει προς τα κάτω πιο αργά, και αν έχουν ίσες μάζες σταματά ακαριαία και μετά αρχίζει να πέφτει. Το παράθυρο της προσομοίωσης κλείνει τη στιγμή που η σφαίρα ξαναφτάνει στο σώμα, γιατί από εκεί και πέρα θα χρειαζόταν δεύτερη κρούση, που η άσκηση δεν την εξετάζει.

Γιατί στην αρχή η σφαίρα μένει ακίνητη στον αέρα;

Την κρατάμε στο ύψος h και την αφήνουμε τη στιγμή που δείχνει το σημάδι «αφήνεται η σφαίρα». Αυτό γίνεται ώστε η κρούση να πέφτει σε συγκεκριμένο σημείο του άξονα του χρόνου και τα τικ T, 2T, 3T να είναι πραγματικές περίοδοι της ταλάντωσης. Πάτα το κουμπί επόμενου γεγονότος για να πας κατευθείαν εκεί.

Το εργαλείο είναι δωρεάν και θα μείνει δωρεάν

Αν θες να δουλέψεις μεθοδικά όλη τη Φυσική Προσανατολισμού, με σειρά και με ασκήσεις: Δες το μάθημα Φυσικής Γ Λυκείου