Απλή αρμονική ταλάντωση και κύκλος αναφοράς

Το ημίτονο στην εξίσωση της ταλάντωσης δεν έπεσε από τον ουρανό. Βγαίνει από έναν κύκλο. Εδώ βλέπεις ένα σώμα να γυρίζει ομαλά στην περιφέρεια ενός κύκλου και ένα δεύτερο να ταλαντώνεται πάνω στην κατακόρυφη διάμετρο του ίδιου κύκλου, μέσα του. Το δεύτερο δεν κάνει κάτι δικό του: είναι η σκιά του πρώτου, ριγμένη πάνω στη διάμετρο. Δεν υπάρχει ελατήριο και δεν υπάρχει νήμα, γιατί εδώ δεν μας απασχολεί τι προκαλεί την ταλάντωση αλλά από πού βγαίνει η μορφή της. Σταματάς τον χρόνο, βλέπεις τη γωνία που έχει διαγράψει η ακτίνα από τη διακεκομμένη αρχή μέτρησης, και ανοιγοκλείνεις όποιο διάνυσμα θέλεις. Ανοίγει σε υπολογιστή και σε κινητό, δωρεάν και χωρίς λογαριασμό.

Τι μπορείς να αλλάξεις

Πλάτος A. Είναι ταυτόχρονα η ακτίνα του κύκλου. Δεν είναι σύμπτωση: η μέγιστη απομάκρυνση της ταλάντωσης είναι ακριβώς η απόσταση του κυκλικού σώματος από το κέντρο, όταν αυτό βρεθεί στην κορυφή. Ο κύκλος στην οθόνη κρατά σταθερό μέγεθος για να μη χοροπηδά η εικόνα, οπότε την αλλαγή του A τη βλέπεις στην ένδειξη που ανάβει.

Περίοδος T. Είναι η ίδια και για τις δύο κινήσεις. Μία πλήρης στροφή του κυκλικού σώματος αντιστοιχεί σε μία πλήρη ταλάντωση, ούτε μία παραπάνω. Από την περίοδο βγαίνει η γωνιακή ταχύτητα με ω = 2π/T, και αυτό το ω είναι το ίδιο ακριβώς ω που γράφεις στην εξίσωση της ταλάντωσης.

Αρχική φάση φ₀. Δύο θέσεις, 0 και π/2, όσες επιτρέπει η εξεταστέα ύλη. Με φ₀ = 0 τη στιγμή μηδέν η ακτίνα είναι οριζόντια και το σώμα περνά από τη θέση ισορροπίας. Με φ₀ = π/2 η ακτίνα δείχνει ήδη προς τα πάνω και το σώμα ξεκινά από την ακραία θέση.

Πέντε διακόπτες για τα διανύσματα. Θέση, ταχύτητα και επιτάχυνση της ταλάντωσης, γραμμική ταχύτητα και κεντρομόλος επιτάχυνση στον κύκλο. Άναψε ό,τι δουλεύεις και σβήσε τα υπόλοιπα. Το καλύτερο ζευγάρι για να ξεκινήσεις είναι η γραμμική ταχύτητα του κύκλου μαζί με την ταχύτητα της ταλάντωσης.

Το διάνυσμα θέσης x. Ξεκινά από τη θέση ισορροπίας, δηλαδή από το κέντρο του κύκλου, και τελειώνει πάνω στο σώμα που ταλαντώνεται. Το μήκος του είναι η απομάκρυνση εκείνης της στιγμής και η φορά του λέει σε ποια μεριά της θέσης ισορροπίας βρίσκεται το σώμα. Όταν το σώμα περνά από τη θέση ισορροπίας το διάνυσμα εξαφανίζεται, γιατί εκεί η απομάκρυνση είναι πραγματικά μηδέν.

Τι να προσέξεις

Τα δύο βέλη της ταχύτητας έχουν την ίδια κλίμακα. Δεν είναι λεπτομέρεια σχεδίασης, είναι η απόδειξη. Το βέλος πάνω στην ταλάντωση έχει μήκος ακριβώς όσο η κατακόρυφη προβολή του βέλους πάνω στον κύκλο. Σταμάτα τον χρόνο οπουδήποτε και σύγκρινέ τα με το μάτι.

Στον κύκλο το μέτρο της ταχύτητας δεν αλλάζει ποτέ. Αλλάζει μόνο η κατεύθυνση. Γι΄ αυτό λέγεται ομαλή κυκλική κίνηση. Στην ταλάντωση όμως το μέτρο αλλάζει συνεχώς, γιατί αυτό που βλέπεις εκεί είναι μόνο ένα κομμάτι του κυκλικού βέλους, και το κομμάτι αυτό μικραίνει όσο το βέλος πλησιάζει την οριζόντια διεύθυνση.

Στις ακραίες θέσεις η ταχύτητα μηδενίζεται. Εκεί η ακτίνα είναι κατακόρυφη και η γραμμική ταχύτητα, που είναι πάντα κάθετη στην ακτίνα, βγαίνει οριζόντια. Οριζόντιο βέλος δεν έχει κατακόρυφη προβολή, άρα η ταχύτητα της ταλάντωσης μηδενίζεται. Το σώμα στον κύκλο δεν σταμάτησε στιγμή.

Η επιτάχυνση δείχνει πάντα προς τη θέση ισορροπίας. Στον κύκλο η κεντρομόλος δείχνει πάντα στο κέντρο. Η προβολή της είναι κατακόρυφη και στρέφεται πάντα προς το μέσο του άξονα, όποια κι αν είναι η θέση του σώματος. Από εκεί βγαίνει το πλην στη σχέση a = −ω²x.

Η φάση ανεβαίνει σε ευθεία γραμμή. Στο τέταρτο διάγραμμα βλέπεις τη γωνία θ σε συνάρτηση με τον χρόνο, και είναι ευθεία. Η εξίσωσή της, θ = ωt + φ₀, είναι πρώτου βαθμού ως προς τον χρόνο: η κλίση της είναι το ω και η τεταγμένη στην αρχή η φ₀. Δεν κυματίζει και δεν επιστρέφει ποτέ, γιατί η γωνία δεν μηδενίζεται σε κάθε στροφή, συνεχίζει να μετράει.

Αυτή η ευθεία είναι το εργαλείο. Επειδή η γωνία τρέχει με σταθερό ρυθμό, κάθε χρόνος αντιστοιχεί σε μία γωνία και κάθε γωνία σε έναν χρόνο. Βρίσκεις τη γωνία με το μάτι πάνω στον κύκλο, τη διαιρείς με το ω, και έχεις τον χρόνο. Χωρίς τριγωνομετρική εξίσωση.

Σύνδεση με τις Πανελλαδικές

Ο κύκλος αναφοράς δεν είναι κεφάλαιο της ύλης και δεν θα σου ζητηθεί να τον σχεδιάσεις. Είναι εργαλείο. Το κερδίζεις όταν μια άσκηση σε ρωτά «πόση ώρα» ή «πόσες φορές» ή «σε ποια χρονική στιγμή», γιατί μετατρέπει τον χρόνο σε γωνία και τη γωνία τη βλέπεις με το μάτι.

Το σενάριο μέσα στη σελίδα είναι το Πρόβλημα 1.39 του σχολικού βιβλίου, σελίδα 38: σώμα με πλάτος 20 cm και περίοδο 10 s ξεκινά από τη θέση ισορροπίας, και ζητείται επί πόσο χρόνο η απομάκρυνσή του είναι μεγαλύτερη από 10 cm. Με πράξεις θέλει ανισώσεις με ημίτονα. Με τον κύκλο τελειώνει σε δύο γραμμές: ημθ μεγαλύτερο από 1/2 σημαίνει γωνία ανάμεσα σε π/6 και 5π/6, δηλαδή τόξο 2π/3, δηλαδή το ένα τρίτο της περιόδου. Η απάντηση είναι 10/3 s.

Το ίδιο κόλπο δουλεύει και σε ερωτήματα του τύπου «πόσος χρόνος χρειάζεται για να πάει από τη θέση ισορροπίας στο μισό του πλάτους». Βρίσκεις τις δύο γωνίες, παίρνεις τη διαφορά τους, και τη διαιρείς με το ω. Δεν χρειάζεται να λύσεις καμία τριγωνομετρική εξίσωση.

Πρόσεξε ότι η ταχύτητα προηγείται της απομάκρυνσης κατά π/2. Στον κύκλο αυτό είναι απλώς το γεγονός ότι η εφαπτομένη είναι κάθετη στην ακτίνα. Αν το θυμάσαι έτσι, δεν θα μπερδέψεις ποτέ ποιο μέγεθος είναι ημίτονο και ποιο συνημίτονο.

Συχνές ερωτήσεις

Το σώμα της ταλάντωσης είναι δεμένο κάπου;

Όχι, και αυτό είναι σκόπιμο. Εδώ βλέπεις μόνο την κινηματική, δηλαδή το σχήμα της κίνησης. Το τι προκαλεί την ταλάντωση, το ελατήριο και η δύναμη επαναφοράς ΣF = −Dx, είναι η δυναμική προσέγγιση και τη δουλεύεις στην προσομοίωση της απλής αρμονικής ταλάντωσης, που έχει ελατήριο και τοίχο.

Γιατί το πλάτος είναι ίσο με την ακτίνα του κύκλου;

Γιατί η απομάκρυνση της ταλάντωσης είναι η προβολή της ακτίνας στον κατακόρυφο άξονα. Η προβολή γίνεται μέγιστη όταν η ακτίνα είναι κατακόρυφη, και τότε ισούται με ολόκληρη την ακτίνα. Άρα η μέγιστη απομάκρυνση, δηλαδή το πλάτος, είναι η ακτίνα.

Πού είναι το ω μέσα στην εικόνα;

Είναι ο ρυθμός με τον οποίο μεγαλώνει η γωνία θ. Το βιβλίο το ορίζει ως ω = θ/t στην κυκλική κίνηση, και σε μία περίοδο η ακτίνα διαγράφει 2π, οπότε ω = 2π/T. Στην ταλάντωση το ίδιο νούμερο το λες γωνιακή συχνότητα. Είναι κυριολεκτικά το ίδιο μέγεθος, και το γράφει και το σχολικό βιβλίο της Γ΄ Λυκείου στη σελίδα 9.

Η υmax της ταλάντωσης και η γραμμική ταχύτητα στον κύκλο είναι το ίδιο νούμερο;

Ναι. Και οι δύο βγαίνουν ωA. Το βλέπεις και στις ενδείξεις: η υγρ είναι σταθερή και ίση με τη μέγιστη τιμή που παίρνει ποτέ η υ. Το ίδιο ισχύει και για την κεντρομόλο επιτάχυνση με τη μέγιστη επιτάχυνση της ταλάντωσης, που είναι και οι δύο ω²A.

Προς ποια φορά γυρίζει το σώμα και έχει σημασία;

Γυρίζει αντιωρολογιακά, που είναι η θετική φορά. Έχει σημασία μόνο για το πρόσημο: με αυτή τη φορά και με τη γωνία μετρημένη από τη διακεκομμένη γραμμή, δηλαδή από τον θετικό οριζόντιο ημιάξονα, η προβολή βγαίνει ημίτονο με θετικό πρόσημο, ακριβώς όπως γράφεται η εξίσωση στο βιβλίο.