Κύλιση τροχού χωρίς ολίσθηση

Ο τροχός κυλά προς τα δεξιά και όλα τα σημεία του φαίνονται να κάνουν το ίδιο πράγμα. Δεν κάνουν. Το σημείο που ακουμπά το έδαφος είναι εκείνη τη στιγμή ακίνητο, το ανώτατο σημείο τρέχει με τη διπλάσια ταχύτητα από το κέντρο, και ένα σημαδεμένο σημείο της περιφέρειας γράφει στον αέρα μια καμπύλη με μύτες, την κυκλοειδή. Εδώ τα βλέπεις και τα τρία μαζί, με τα διανύσματα πάνω στον τροχό και δύο γραφικές από κάτω. Ανοίγει σε υπολογιστή και σε κινητό, δωρεάν και χωρίς λογαριασμό.

Τι μπορείς να αλλάξεις

Ακτίνα τροχού R. Καθορίζει πόσο γρήγορα στρέφεται ο τροχός για δεδομένη ταχύτητα του κέντρου, γιατί ω = υcm/R. Μικρή ακτίνα σημαίνει πολλές στροφές, μεγάλη ακτίνα λίγες. Πρόσεξε ότι η ταχύτητα του ανώτατου σημείου δεν αλλάζει καθόλου: μένει 2υcm ό,τι κι αν κάνεις με το R.

Ταχύτητα κέντρου υcm. Είναι σταθερή εδώ, οπότε το κέντρο κάνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. Ανεβάζοντάς την ανεβαίνουν μαζί η ω, η συχνότητα και η ταχύτητα κάθε σημείου, γιατί όλα δένονται με τη μία συνθήκη υcm = ωR.

Αρχική θέση του σημείου Μ. Διαλέγεις από πού ξεκινά το σημαδεμένο σημείο, από το έδαφος, από την κορυφή ή από τα πλάγια. Αλλάζει μόνο ποιο κομμάτι της τροχιάς βλέπεις πρώτο, τίποτα από τη φυσική.

Τι να προσέξεις

Το σημείο επαφής έχει μηδενική ταχύτητα. Όχι μικρή, μηδέν. Εκεί η ταχύτητα λόγω περιστροφής, μέτρου ωR, είναι αντίθετη από την υcm, και επειδή ωR = υcm οι δύο αναιρούνται ακριβώς. Αυτό είναι όλο το νόημα της φράσης «χωρίς ολίσθηση».

Το ανώτατο σημείο έχει 2υcm. Εκεί οι δύο ταχύτητες έχουν την ίδια φορά και προστίθενται. Στο σχήμα του βιβλίου, στη σελίδα 111, το βλέπεις γραμμένο πάνω στον τροχό: υ₃ = 2υcm στην κορυφή, υ₁ = 0 στη βάση.

Ένα σημείο του τροχού δεν κάνει την κίνηση του τροχού. Ο τροχός προχωράει ομαλά, το σημείο Μ όχι. Η δεύτερη γραφική δείχνει το μέτρο της ταχύτητάς του να πάλλεται ανάμεσα στο μηδέν και το 2υcm, μία φορά σε κάθε περιστροφή.

Σε μία περιστροφή το κέντρο προχωρά 2πR. Ακριβώς όσο η περίμετρος του τροχού, γιατί ο τροχός ξετυλίγεται πάνω στο έδαφος χωρίς να γλιστράει. Η διάσταση κάτω από το έδαφος στη σκηνή σου δείχνει αυτό το μήκος με αριθμό.

Η τροχιά του Μ έχει μύτη, όχι στρογγυλή καμπή. Κάθε φορά που το Μ ακουμπά το έδαφος, η καμπύλη κάνει γωνία. Δεν είναι σχεδιαστική ατέλεια: είναι η στιγμή που η ταχύτητα μηδενίζεται και μετά ξαναρχίζει προς άλλη κατεύθυνση.

Σύνδεση με τις Πανελλαδικές

Η κινηματική του στερεού είναι εντός ύλης για το 2026 με τις παραγράφους 4.1 και 4.2, ενώ η ροπή αδράνειας και η κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής είναι εκτός. Πρακτικά αυτό σημαίνει ότι τα ερωτήματα κύλισης που θα δεις είναι καθαρά κινηματικά, και στηρίζονται όλα σε τρεις σχέσεις: υcm = ωR, υ ανώτατου = 2υcm, υ σημείου επαφής = 0.

Το σενάριο μέσα στη σελίδα είναι η Άσκηση 4.35 του σχολικού βιβλίου: δίσκος ακτίνας 8 cm με ταχύτητα κέντρου 5 m/s. Το πρώτο ερώτημα ζητά την ταχύτητα του ανώτερου σημείου και βγαίνει 10 m/s, το δεύτερο ζητά τη συχνότητα περιστροφής και βγαίνει 9,9 Hz. Φόρτωσέ το και δες και τα δύο στις ενδείξεις, χωρίς να κάνεις πράξη.

Η κλασική παγίδα στα θέματα είναι να ζητηθεί «η ταχύτητα ενός σημείου» και να απαντηθεί η υcm. Η υcm είναι η ταχύτητα του κέντρου μάζας και μόνο. Κάθε άλλο σημείο έχει δική του ταχύτητα, από μηδέν μέχρι 2υcm, ανάλογα με το πού βρίσκεται εκείνη τη στιγμή.

Συχνές ερωτήσεις

Πώς γίνεται το σημείο επαφής να είναι ακίνητο ενώ ο τροχός κινείται;

Είναι ακίνητο μόνο για μια στιγμή, και όχι πάντα το ίδιο σημείο. Κάθε σημείο της περιφέρειας περνά με τη σειρά του από το έδαφος, μηδενίζει την ταχύτητά του και ξαναφεύγει. Αν το σημείο επαφής δεν είχε μηδενική ταχύτητα, ο τροχός θα γλιστρούσε.

Γιατί η ταχύτητα του ανώτατου σημείου δεν αλλάζει όταν αλλάζω την ακτίνα;

Γιατί εξαρτάται μόνο από την υcm. Το άθροισμα είναι υcm + ωR, και η συνθήκη κύλισης λέει ότι ωR = υcm, οπότε βγαίνει πάντα 2υcm. Μεγαλύτερος τροχός σημαίνει μικρότερη ω, αλλά το γινόμενο ωR μένει ίδιο.

Τι είναι η καμπύλη που γράφει το σημαδεμένο σημείο;

Λέγεται κυκλοειδής. Το βιβλίο τη δείχνει σε πραγματική φωτογραφία στη σελίδα 111, βάζοντας ένα λαμπάκι στην περιφέρεια ενός τροχού που κυλά στο σκοτάδι. Το ίδιο σχήμα βλέπεις εδώ σχεδιασμένο, με τις μύτες του πάνω στο έδαφος.

Η άσκησή μου έχει τροχό που επιταχύνεται. Ισχύουν τα ίδια;

Οι σχέσεις των ταχυτήτων ισχύουν σε κάθε στιγμή, με την υcm εκείνης της στιγμής. Επιπλέον, όταν ο τροχός επιταχύνεται, ισχύει και acm = αγων·R, όπως το γράφει το βιβλίο στη σελίδα 112. Η προσομοίωση κρατά σταθερή την υcm ώστε να δεις καθαρά τη γεωμετρία, χωρίς να μπλέξει η επιτάχυνση.

Το εργαλείο είναι δωρεάν και θα μείνει δωρεάν

Αν θες να δουλέψεις μεθοδικά όλη τη Φυσική Προσανατολισμού, με σειρά και με ασκήσεις: Δες το μάθημα Φυσικής Γ Λυκείου