Κυματοσυνάρτηση και αρχή της αβεβαιότητας

Αν ξέρεις επακριβώς την ορμή ενός σωματιδίου, το κύμα του έχει ένα και μόνο μήκος κύματος και απλώνεται σε ολόκληρο τον άξονα: το σωματίδιο μπορεί να βρίσκεται οπουδήποτε. Για να το εντοπίσεις πρέπει να προσθέσεις κύματα με διαφορετικά μήκη, και τότε το πακέτο στενεύει αλλά η ορμή θολώνει. Εδώ σέρνεις τον δρομέα και βλέπεις ταυτόχρονα το κύμα, την πυκνότητα πιθανότητας, τις ορμές που χρησιμοποίησες, και το γινόμενο Δpₓ·Δx να μη γίνεται ποτέ μικρότερο από h/2π. Ανοίγει σε υπολογιστή και σε κινητό, δωρεάν και χωρίς λογαριασμό.

Τι μπορείς να αλλάξεις

Σωματίδιο και ταχύτητα. Ηλεκτρόνιο, πρωτόνιο ή μπαλάκι, με τις μάζες και τις ταχύτητες που δίνει το σχολικό βιβλίο στο Παράδειγμα 7.4 και στην Άσκηση 7.30. Το μήκος κύματος βγαίνει από την υπόθεση de Broglie, λ = h/p. Η εικόνα μένει η ίδια, γιατί ο άξονας μετράει μήκη κύματος, αλλά οι αριθμοί αλλάζουν κατά 29 τάξεις μεγέθους.

Ορισμένη ορμή ή κυματοπακέτο. Ο διακόπτης σε γυρίζει ανάμεσα στα δύο σχήματα του βιβλίου: το καθαρό ημίτονο του σχήματος 7.9, όπου η αβεβαιότητα της θέσης είναι άπειρη, και το κυματοπακέτο του σχήματος 7.10.

Πόσα κύματα υπερθέτεις. Από 2 ως 21. Με δύο παίρνεις διακρότημα, και στην οθόνη το βλέπεις ως ένα πακέτο τόσο πλατύ όσο ολόκληρη η γραφική: μηδενίζεται μόνο στα δύο άκρα της, οπότε δεν εντοπίζει τίποτα. Όσο περισσότερα προσθέτεις, τόσο στενεύει το πακέτο και τόσο απλώνεται η χτένα των ορμών στην τρίτη γραφική.

Τι να προσέξεις

Το Δx και το Δpₓ δεν είναι μεταβολές. Είναι το εύρος της αβεβαιότητας με την οποία γνωρίζουμε τα δύο μεγέθη. Το γράφει ρητά το βιβλίο, και είναι η πιο συχνή παρανόηση της ενότητας.

Η σχέση είναι Δpₓ·Δx ≥ h/2π. Έτσι ακριβώς τυπώνεται στο πλαίσιο και έτσι επαναλαμβάνεται στη Σύνοψη. Θα δεις αλλού και άλλες μορφές, όμως στη δική σου ύλη ισχύει αυτή.

Δεν φταίνε τα όργανα. Η αδυναμία να προσδιορίσουμε ταυτόχρονα θέση και ορμή δεν οφείλεται σε πειραματικές ατέλειες. Είναι σύμφυτη με την ίδια την κβαντική δομή της ύλης.

Πληρώνεις τον εντοπισμό με τη γνώση της ορμής. Σύρε τον δρομέα από τα 2 στα 21 κύματα και κοίτα ταυτόχρονα τις δύο ενδείξεις. Το Δx πέφτει από 20 μήκη κύματος σε λιγότερα από 2, ενώ το Δpₓ ανεβαίνει από το 5 % της ορμής στο 100 % της. Το γινόμενό τους δεν κατεβαίνει ποτέ κάτω από το όριο.

Το εμβαδόν κάτω από τη δεύτερη γραφική είναι πάντα 1. Είναι η συνθήκη κανονικοποίησης: κάθε χρονική στιγμή το σωματίδιο σίγουρα βρίσκεται κάπου. Γι' αυτό, όταν το πακέτο στενεύει, η κορυφή του ανεβαίνει. Ο άξονας του ύψους μένει σταθερός όσο σέρνεις τον δρομέα, ώστε να το δεις να συμβαίνει: στα 2 κύματα η καμπύλη είναι μια χαμηλή καμπούρα απλωμένη παντού, στα 21 μια ψηλή κορυφή σε λίγα μήκη κύματος.

Η εικόνα επαναλαμβάνεται έξω από τη γραφική. Επειδή οι ορμές που υπερθέτουμε απέχουν ίσα μεταξύ τους, το ίδιο πακέτο ξαναγίνεται κάθε 20 μήκη κύματος, δηλαδή ακριβώς όσο το πλάτος που βλέπεις. Ό,τι δείχνει η γραφική είναι ένας κρίκος μιας αλυσίδας που συνεχίζεται δεξιά και αριστερά. Με 2 κύματα ο κρίκος γεμίζει όλη την εικόνα, με 21 στριμώχνεται σε λιγότερα από 2 μήκη κύματος και γύρω του απλώνεται άδειος χώρος. Αυτό ακριβώς σημαίνει εντοπισμένο σωματίδιο.

Ο άξονας μετράει μήκη κύματος, όχι μέτρα. Το λ του ηλεκτρονίου και το λ του μπαλακιού διαφέρουν κατά 25 τάξεις μεγέθους, οπότε καμία σταθερή μονάδα μήκους δεν θα διαβαζόταν. Οι πραγματικές τιμές σε μέτρα και σε kg·m/s βρίσκονται στο πάνελ των εξισώσεων.

Το πακέτο μένει ακίνητο. Το κρατάμε στη θέση του για να μπορείς να διαβάσεις το Δx, ενώ το κύμα τρέχει μέσα του. Το βιβλίο δίνει μόνο στιγμιότυπα και δεν ασχολείται με το πώς ταξιδεύει το πακέτο. Και ο ρυθμός με τον οποίο τρέχει το κύμα μέσα στο πακέτο είναι επιλογή της εικόνας, όχι μέγεθος του βιβλίου: μη διαβάσεις από την κίνηση ταχύτητα για το κύμα της ύλης, γιατί το βιβλίο δεν της δίνει ούτε συχνότητα ούτε ταχύτητα.

Σύνδεση με τις Πανελλαδικές

Το σταθερό ερώτημα της ενότητας είναι θεωρητικό και το πληρώνει ακριβά όποιος έχει μάθει τη σχέση χωρίς την εικόνα: γιατί η αρχή της αβεβαιότητας δεν μας ενοχλεί στην καθημερινότητα. Η απάντηση φαίνεται εδώ σε δύο κλικ. Το ηλεκτρόνιο και το μπαλάκι του γκολφ δίνουν την ίδια ακριβώς εικόνα, όμως το ένα έχει αβεβαιότητα θέσης εκατοντάδες νανόμετρα και το άλλο 10⁻³¹ μέτρα. Ευθύνεται το πόσο μικρή είναι η σταθερά h.

Το δεύτερο ερώτημα είναι το «πού βρίσκεται το σωματίδιο». Πρόσεξε τη διαφορά ανάμεσα στο ψ και στο |Ψ|². Το ίδιο το ψ δεν έχει άμεση φυσική σημασία. Αυτό που ερμηνεύεται είναι το |Ψ|², που δίνει την πιθανότητα θέσης ανά μονάδα όγκου, όπως πρότεινε ο Born. Θα το δεις καθαρά στις δύο ενδείξεις: στο κέντρο του πακέτου το ψ γράφει 0,000 ενώ το |Ψ|² είναι στο μέγιστό του. Δεν είναι αντίφαση. Το ψ είναι η στιγμιαία τιμή του κύματος και ταλαντώνεται, οπότε περνά και από το μηδέν· το |Ψ|² δεν αλλάζει με τον χρόνο, γιατί η πιθανότητα να βρεθεί εκεί το σωματίδιο δεν μπορεί να αναβοσβήνει.

Τα σενάρια μέσα στη σελίδα είναι το Παράδειγμα 7.4 και η Άσκηση 7.30 του σχολικού βιβλίου, με τους αριθμούς τους κλειδωμένους σε αυτόματα τεστ.

Συχνές ερωτήσεις

Γιατί ένα κύμα με ένα μόνο μήκος κύματος δεν μας λέει πού είναι το σωματίδιο;

Επειδή εκτείνεται από το μείον άπειρο ως το συν άπειρο, ολόιδιο παντού. Δεν υπάρχει σημείο του άξονα που να ξεχωρίζει από τα άλλα, οπότε η πυκνότητα πιθανότητας βγαίνει ίδια σε κάθε θέση. Αυτό εννοεί η λεζάντα του βιβλίου, «η αβεβαιότητα της θέσης, Δx, είναι άπειρη».

Τι είναι το κυματοπακέτο;

Ένα κύμα περιορισμένο στο χώρο, φτιαγμένο με υπέρθεση πολλών κυμάτων με κατάλληλα μήκη κύματος, πλάτη και φάσεις. Όσο πιο εντοπισμένο το θέλουμε, τόσο περισσότερα και πιο διασκορπισμένα μήκη κύματος χρειάζεται, και ακριβώς αυτό είναι το τίμημα στην ορμή.

Γιατί με δύο κύματα δεν εντοπίζεται τίποτα;

Γιατί δύο κύματα με μικρή διαφορά στο μήκος κύματος δίνουν διακρότημα, δηλαδή πανομοιότυπα πακέτα που επαναλαμβάνονται ξανά και ξανά, όπως στο σχήμα 7.10β του βιβλίου. Δεν υπάρχει ένα πακέτο για να πεις «εδώ είναι». Στην προσομοίωση βλέπεις ένα από αυτά τα πακέτα, και μάλιστα ένα που πιάνει όλο το πλάτος της γραφικής: το επόμενο ξεκινά μόλις έξω από το δεξί άκρο και το προηγούμενο τελειώνει μόλις έξω από το αριστερό. Για να μείνει μέσα στην εικόνα ένα στενό πακέτο με άδειο χώρο γύρω του, χρειάζεσαι υπέρθεση μεγάλου αριθμού κυμάτων.

Πώς μετράει η προσομοίωση το Δx και το Δpₓ;

Το βιβλίο τα δείχνει με ένα βέλος πάνω στο σχήμα και δεν τα ορίζει αριθμητικά. Εδώ το Δx είναι η απόσταση ανάμεσα στα δύο σημεία όπου μηδενίζεται η περιβάλλουσα του πακέτου, δηλαδή ακριβώς το βέλος του σχήματος 7.10γ, και το Δpₓ είναι όλο το εύρος των ορμών που μπήκαν στην υπέρθεση. Και με τους δύο αυτούς ορισμούς το γινόμενο βγαίνει από 6 ως 12 φορές μεγαλύτερο από το h/2π, δηλαδή πάντα μέσα στα επιτρεπτά.

Η απάντηση του βιβλίου στο Παράδειγμα 7.4 δεν συμφωνεί με την προσομοίωση. Ποιος έχει δίκιο;

Η πράξη. Το βιβλίο δείχνει τη διαίρεση 6,626×10⁻³⁴ δια (6,28 · 27,33×10⁻²⁹) και τυπώνει αποτέλεσμα 0,38×10⁻⁴ m, ενώ η ίδια η διαίρεση δίνει 0,386×10⁻⁶ m. Το ίδιο συμβαίνει και στο μπαλάκι του γκολφ, όπου τυπώνεται 1,16×10⁻²⁷ m αντί για 1,17×10⁻³¹ m. Είναι τυπογραφικά λάθη στον εκθέτη. Τα συμπεράσματα δεν αλλάζουν καθόλου: για το ηλεκτρόνιο η αβεβαιότητα παραμένει τεράστια, για το μπαλάκι μηδαμινή.

Το ψ και το Ψ είναι το ίδιο πράγμα;

Στο βιβλίο το μικρό ψ γράφει το στιγμιότυπο του κύματος στον χώρο, ενώ το κεφαλαίο Ψ είναι η κυματοσυνάρτηση, συνάρτηση της θέσης και του χρόνου. Αυτό που έχει φυσική σημασία είναι το |Ψ|², η πιθανότητα θέσης ανά μονάδα όγκου, και ισχύει η συνθήκη κανονικοποίησης Σ|Ψ|²dV = 1.

Το εργαλείο είναι δωρεάν και θα μείνει δωρεάν

Αν θες να δουλέψεις μεθοδικά όλη τη Φυσική Προσανατολισμού, με σειρά και με ασκήσεις: Δες το μάθημα Φυσικής Γ Λυκείου