Οριζόντια βολή

Ένα σώμα φεύγει οριζόντια από ένα ύψος και πέφτει. Μοιάζει με μία κίνηση, αλλά είναι δύο. Εδώ τις βλέπεις χωριστά: μια κουκκίδα τρέχει πάνω στον οριζόντιο άξονα με σταθερό βήμα και μια δεύτερη κατεβαίνει στον κατακόρυφο όλο και πιο γρήγορα. Οι δύο μαζί φτιάχνουν την παραβολή που βλέπεις στη σκηνή. Σταματάς τον χρόνο όπου θέλεις, βλέπεις τις συνιστώσες της ταχύτητας πάνω στο σώμα, και οι γραφικές αλλάζουν μαζί σου. Ανοίγει σε υπολογιστή και σε κινητό, δωρεάν και χωρίς λογαριασμό.

Τι μπορείς να αλλάξεις

Αρχική οριζόντια ταχύτητα υ₀. Είναι η ταχύτητα που δίνεις στο σώμα τη στιγμή που φεύγει. Ανέβασέ την και το σώμα πάει πιο μακριά. Κοίτα όμως την ένδειξη «χρόνος πτώσης» όσο τη σέρνεις: δεν κουνιέται ούτε χιλιοστό. Αυτό είναι όλο το μάθημα της παραγράφου, και το βλέπεις πριν το διαβάσεις.

Ύψος εκτόξευσης h. Είναι η μόνη παράμετρος που καθορίζει πόση ώρα μένει το σώμα στον αέρα, γιατί ο χρόνος βγαίνει από τη σχέση t = √(2h/g). Διπλασίασε το ύψος και ο χρόνος δεν διπλασιάζεται: γίνεται √2 φορές μεγαλύτερος. Το βεληνεκές μεγαλώνει μαζί με τον χρόνο, αφού x = υ₀t.

Επιτάχυνση της βαρύτητας g. Δύο θέσεις, Γη με 10 m/s² και Σελήνη με 1,6 m/s². Γύρισέ το στη Σελήνη και το ίδιο ακριβώς σώμα, με την ίδια ακριβώς οριζόντια ταχύτητα, μένει πολύ περισσότερη ώρα στον αέρα και φτάνει πολύ πιο μακριά. Η οριζόντια κίνηση δεν άλλαξε καθόλου, άλλαξε μόνο η πτώση.

Σκιές, διάνυσμα ταχύτητας, διάνυσμα θέσης. Τρεις διακόπτες, για να κρύβεις ό,τι δεν σου χρειάζεται εκείνη τη στιγμή. Αν θες να δεις καθαρά την τροχιά, κλείσε τα βέλη. Αν δουλεύεις την ανεξαρτησία των κινήσεων, άσε ανοιχτές μόνο τις σκιές.

Τι να προσέξεις

Η οριζόντια ταχύτητα δεν επηρεάζει την πτώση. Δύο σώματα που ξεκινούν από το ίδιο ύψος την ίδια στιγμή, το ένα αφημένο και το άλλο εκτοξευμένο οριζόντια, φτάνουν κάτω μαζί. Το βιβλίο το δείχνει με χρονοφωτογραφία στη σελίδα 8, στην Εικόνα 1.1: τις ίδιες χρονικές στιγμές τα δύο αντικείμενα βρίσκονται στο ίδιο ύψος.

Η υx μένει σταθερή, η υy μεγαλώνει γραμμικά. Στη γραφική των συνιστωσών θα δεις μια οριζόντια ευθεία και μια ευθεία που ανεβαίνει ξεκινώντας από το μηδέν. Καμία δύναμη δεν δρα οριζόντια, οπότε τίποτα δεν αλλάζει την υx. Κατακόρυφα δρα το βάρος, οπότε η υy μεγαλώνει κατά g κάθε δευτερόλεπτο.

Οι θέσεις μετριούνται από το σημείο εκκίνησης. Το x είναι θετικό προς τα δεξιά και το y θετικό προς τα κάτω, ακριβώς όπως στην Εικόνα 1.2 του βιβλίου. Με αυτή τη σύμβαση οι εξισώσεις γράφονται χωρίς κανένα πλην: y = ½gt² και υy = gt. Αν σε άλλη άσκηση δεις το y να μετριέται προς τα πάνω, θα εμφανιστούν πλην, και είναι ο πιο συνηθισμένος τρόπος να χάσεις μονάδες σε ένα σωστό κατά τα άλλα ερώτημα.

Το διάγραμμα της τροχιάς δείχνει ύψος, όχι y. Στο τέταρτο πάνελ ο κατακόρυφος άξονας είναι το ύψος πάνω από το έδαφος, ώστε η καμπύλη να κατεβαίνει όπως κατεβαίνει και το σώμα στη σκηνή πιο πάνω. Είναι η ίδια παραβολή, μετρημένη από την άλλη άκρη.

Η κλίμακα είναι ίδια στους δύο άξονες. Γι΄ αυτό μερικές φορές μένει κενός χώρος στο κάδρο. Αν τεντώναμε τον έναν άξονα για να γεμίσει το κάδρο, η παραβολή θα παραμορφωνόταν και δεν θα ήταν πια η τροχιά του σώματος.

Σύνδεση με τα θέματα

Η οριζόντια βολή είναι ύλη της Β΄ Λυκείου, της Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών, παράγραφος 1-1. Την κουβαλάς όμως μαζί σου: η ανεξαρτησία των κινήσεων είναι το εργαλείο με το οποίο σπάς κάθε σύνθετη κίνηση σε απλές, και το ξαναχρησιμοποιείς στη Γ΄ Λυκείου σε κάθε πρόβλημα όπου ένα σώμα κάνει δύο πράγματα ταυτόχρονα.

Το σενάριο μέσα στη σελίδα είναι η Άσκηση 1 της σελίδας 34: ο αστροναύτης στη Σελήνη αφήνει ένα σώμα από 7,2 m και φτάνει κάτω σε 3 s, οπότε η επιτάχυνση της βαρύτητας εκεί βγαίνει 1,6 m/s². Μετά πετά το ίδιο σώμα οριζόντια με 12 m/s από το ίδιο ύψος. Φόρτωσέ το και δες στις ενδείξεις ότι ο χρόνος πτώσης έμεινε 3 s και το βεληνεκές βγήκε 36 m, χωρίς να κάνεις πράξη.

Δίπλα του υπάρχει το ίδιο σενάριο στη Γη. Η μόνη αλλαγή είναι η βαρύτητα, και τα νούμερα πέφτουν σε 1,2 s και 14,4 m. Βάλε τα δύο δίπλα δίπλα με το «Κράτα αυτή τη ρύθμιση» και θα δεις καθαρά ποια από τις δύο κινήσεις άλλαξε.

Η κλασική παγίδα στα θέματα είναι να ψάξεις τον χρόνο πτώσης μέσα από την οριζόντια ταχύτητα. Δεν υπάρχει εκεί. Ο χρόνος βγαίνει πάντα από τον κατακόρυφο άξονα και μόνο, και μετά τον βάζεις στο x = υ₀t για να βρεις πόσο μακριά έφτασε.

Συχνές ερωτήσεις

Γιατί ο χρόνος πτώσης δεν εξαρτάται από την υ₀;

Γιατί οι δύο κινήσεις είναι ανεξάρτητες. Στον κατακόρυφο άξονα το σώμα κάνει ελεύθερη πτώση χωρίς αρχική ταχύτητα, ό,τι κι αν συμβαίνει οριζόντια. Άρα η εξίσωση που δίνει τον χρόνο, h = ½gt², δεν περιέχει καθόλου την υ₀. Άναψε τις σκιές και κοίτα μόνο την κατακόρυφη: κατεβαίνει με τον ίδιο ακριβώς τρόπο ό,τι κι αν κάνεις με το βέλος της οριζόντιας.

Τι σχήμα έχει η τροχιά και γιατί;

Παραβολή. Λύνεις το x = υ₀t ως προς τον χρόνο, το βάζεις στο y = ½gt² και παίρνεις y = gx²/(2υ₀²), δηλαδή το y είναι ανάλογο του τετραγώνου του x. Μικρότερη υ₀ σημαίνει πιο κλειστή παραβολή, μεγαλύτερη υ₀ πιο ανοιχτή.

Πώς βρίσκω την ταχύτητα τη στιγμή που το σώμα χτυπά στο έδαφος;

Είναι η συνισταμένη των δύο συνιστωσών εκείνης της στιγμής. Η υx έχει μείνει υ₀, η υy έχει φτάσει gt, οπότε το μέτρο βγαίνει από το Πυθαγόρειο. Σταμάτα τον χρόνο στο τέλος και διάβασε την ένδειξη υ, ή δες το τρίτο βέλος πάνω στο σώμα που είναι ακριβώς η συνισταμένη των δύο άλλων.

Η άσκησή μου δίνει το βεληνεκές και ζητά το ύψος. Πώς το δουλεύω;

Ανάποδα, με την ίδια αλυσίδα. Από το x = υ₀t βρίσκεις τον χρόνο, και μετά από το h = ½gt² το ύψος. Στην προσομοίωση μπορείς να το κάνεις και με το χέρι: σύρε το ύψος μέχρι η ένδειξη «βεληνεκές» να πέσει πάνω στο νούμερο της άσκησης.

Γιατί δεν υπολογίζουμε την αντίσταση του αέρα;

Γιατί το βιβλίο τη θεωρεί αμελητέα, και το γράφει ρητά στο παράδειγμα της σελίδας 11. Με αντίσταση αέρα οι δύο κινήσεις παύουν να είναι ανεξάρτητες, η τροχιά δεν είναι πια παραβολή, και το πρόβλημα βγαίνει από την ύλη του Λυκείου.