Πλάγια ελαστική κρούση

Μια σφαίρα δεν χτυπά πάντα μετωπικά. Όταν η κρούση είναι πλάγια, η ταχύτητα αναλύεται σε δύο συνιστώσες και η καθεμία έχει τη δική της τύχη. Ο διακόπτης σε πάει από την κρούση σε τοίχο, που τη λύνει ολόκληρη το βιβλίο στη σελίδα 158, στην κρούση με μια όμοια ακίνητη σφαίρα, που είναι το Πρόβλημα 5.41. Η σκηνή είναι κάτοψη, οπότε βλέπεις τις πραγματικές διευθύνσεις, ενώ τρεις γραφικές παρακολουθούν τις συνιστώσες της ταχύτητας, την ορμή κατά x και κατά y, και την κινητική ενέργεια. Ανοίγει σε υπολογιστή και σε κινητό, δωρεάν και χωρίς λογαριασμό.

Τι μπορείς να αλλάξεις

Σε τι χτυπά η σφαίρα. Στη μία θέση του διακόπτη υπάρχει τοίχος. Στην άλλη υπάρχει δεύτερη σφαίρα, όμοια με την πρώτη, ακίνητη πριν την κρούση. Και στις δύο περιπτώσεις η κρούση είναι ελαστική, οπότε η κινητική ενέργεια διατηρείται.

Η γωνία. Στον τοίχο είναι η γωνία πρόσπτωσης π, μετρημένη από την κάθετη στον τοίχο, όπως ακριβώς την ορίζει το σχήμα του βιβλίου. Βάλε την μηδέν και έχεις κάθετη πρόσπτωση, η σφαίρα γυρίζει πίσω από τον ίδιο δρόμο. Στην κρούση με την όμοια σφαίρα, η γωνία είναι η εκτροπή θ₁ της πρώτης σφαίρας, και δείχνει πόσο έκκεντρα χτυπιούνται οι δύο. Η θ₂ που βλέπεις δίπλα της είναι το ίδιο πράγμα για τη δεύτερη σφαίρα, η γωνία της από την αρχική διεύθυνση, μετρημένη όμως προς την άλλη μεριά. Κοίτα τη σκηνή καθώς τη σέρνεις: όσο μικραίνει η θ₁, τόσο πιο ξυστά περνά η μία σφαίρα από την άλλη.

Το μέτρο της αρχικής ταχύτητας και η μάζα. Η ταχύτητα αλλάζει το πόσο γρήγορα τρέχει το φαινόμενο και τα μεγέθη όλων των αριθμών. Η μάζα δεν αγγίζει καμία γωνία και κανένα μέτρο ταχύτητας, αλλάζει μόνο πόση ορμή και πόση ενέργεια κουβαλά η κρούση. Δοκίμασέ το, είναι ο πιο γρήγορος τρόπος να δεις ποια αποτελέσματα εξαρτώνται από τη μάζα και ποια όχι.

Τι να προσέξεις

Στον τοίχο αλλάζει μόνο η μία συνιστώσα. Η δύναμη που δέχεται η σφαίρα από τον τοίχο είναι κάθετη στην επιφάνειά του. Άρα η κάθετη στον τοίχο συνιστώσα αντιστρέφεται και η παράλληλη μένει ίδια. Στην πρώτη γραφική το βλέπεις κυριολεκτικά: η μία καμπύλη πηδά από το θετικό στο αρνητικό, η άλλη είναι μια ευθεία που δεν καταλαβαίνει καν ότι έγινε κρούση.

Γι' αυτό βγαίνει π = α. Αφού η παράλληλη συνιστώσα μένει ίδια και το μέτρο της ταχύτητας μένει ίδιο, το ημίτονο της γωνίας βγαίνει το ίδιο πριν και μετά. Η γωνία πρόσπτωσης είναι ίση με τη γωνία ανάκλασης, και οι δύο ενδείξεις μπροστά σου το επιβεβαιώνουν σε κάθε τιμή του δρομέα.

Η ορμή της σφαίρας δεν διατηρείται στον τοίχο. Η δεύτερη γραφική δείχνει τη συνιστώσα κατά x να αντιστρέφεται. Δεν καταργείται η διατήρηση της ορμής, απλώς ο τοίχος και η Γη είναι μέρος του συστήματος και έχουν τεράστια μάζα. Αυτό που πρέπει να κρατήσεις για τις ασκήσεις είναι η μεταβολή της ορμής, που έχει μέτρο 2mυₓ, και γίνεται 2mυ όταν η πρόσπτωση είναι κάθετη.

Με δύο όμοιες σφαίρες η ορμή διατηρείται χωριστά σε κάθε άξονα. Εδώ το σύστημα είναι μόνο οι δύο σφαίρες, οπότε η ορμή διατηρείται, και επειδή είναι διάνυσμα, διατηρείται και κατά x και κατά y. Είναι ακριβώς η μέθοδος του Παραδείγματος 5.2 του βιβλίου, μόνο που εκεί η κρούση είναι πλαστική.

Το άθροισμα των δύο γωνιών μένει 90°. Όποια γωνία εκτροπής κι αν διαλέξεις, η ένδειξη «θ₁ + θ₂» δεν κουνιέται από τις 90°. Δεν είναι σύμπτωση ούτε ειδική περίπτωση, είναι το αποτέλεσμα του Προβλήματος 5.41: ισχύει για κάθε μη κεντρική ελαστική κρούση ανάμεσα σε όμοιες σφαίρες, όταν η μία ξεκινά ακίνητη. Στη θέση του τοίχου η ίδια ένδειξη μένει κενή, και σκόπιμα: εκεί δεν υπάρχει άθροισμα γωνιών στο βιβλίο, υπάρχει μόνο η ισότητα π = α.

Οι δύο ακραίες τιμές της γωνίας δεν είναι πια πλάγια κρούση. Αν η εκτροπή πήγαινε στο μηδέν, η πρώτη σφαίρα δεν θα άγγιζε καν τη δεύτερη. Αν πήγαινε στις 90°, η κρούση θα ήταν κεντρική και οι δύο σφαίρες θα αντάλλασσαν ταχύτητες. Γι' αυτό ο δρομέας σταματά πριν φτάσει εκεί.

Σύνδεση με τις Πανελλαδικές

Στις Πανελλαδικές 2026 η κρούση ήταν κεντρική, στο Θέμα Α4, όχι πλάγια. Η πλάγια κρούση όμως είναι εντός ύλης και ζει κυρίως στο Θέμα Α και στο Θέμα Β, εκεί που κρίνεται αν έχεις καταλάβει τι είναι διάνυσμα και τι μονόμετρο.

Δύο ερωτήματα επανέρχονται. Το πρώτο είναι η μεταβολή της ορμής σε κρούση με τοίχο, ακριβώς η Ερώτηση 5.9 του βιβλίου, με απάντηση 2mυ. Είναι έτοιμο σενάριο μέσα στη σελίδα: φόρτωσέ το και δες τις δύο ενδείξεις της ορμής να βγαίνουν αντίθετες. Το δεύτερο είναι η ορθή γωνία των όμοιων σφαιρών, το Πρόβλημα 5.41, που ζητά απόδειξη και όχι αριθμό.

Η απόδειξη είναι τριών γραμμών και αξίζει να τη θυμάσαι. Με ίσες μάζες η διατήρηση της ορμής γράφεται διανυσματικά υ₀ = υ₁΄ + υ₂΄. Υψώνεις στο τετράγωνο και παίρνεις υ₀² = υ₁΄² + υ₂΄² + 2υ₁΄υ₂΄συνω, όπου ω είναι η γωνία ανάμεσα στις δύο τελικές ταχύτητες, δηλαδή το θ₁ + θ₂ που δείχνει η προσομοίωση. Η κρούση είναι ελαστική, άρα ισχύει και υ₀² = υ₁΄² + υ₂΄². Μένει συνω = 0, δηλαδή ω = 90°.

Συχνές ερωτήσεις

Από πού μετριούνται οι γωνίες στην κρούση με τοίχο;

Από την κάθετη στον τοίχο, όχι από τον τοίχο. Έτσι τις ορίζει το βιβλίο στο σχήμα της σελίδας 158, και έτσι τις δείχνει η σκηνή, με τη διακεκομμένη γραμμή να είναι η κάθετη. Αν τις μετρήσεις από τον τοίχο θα βρεις τη συμπληρωματική γωνία και θα μπερδέψεις όλες τις σχέσεις.

Γιατί λέμε ότι η ταχύτητα δεν αλλάζει, ενώ η ορμή αλλάζει;

Επειδή η ταχύτητα που δεν αλλάζει είναι το ΜΕΤΡΟ της. Το διάνυσμα της ταχύτητας αλλάζει, γιατί αλλάζει η διεύθυνσή του, οπότε αλλάζει και η ορμή. Είναι η πιο συχνή παγίδα του Θέματος Α σε αυτή την ενότητα.

Το βιβλίο δίνει τύπο για τη γωνία εκτροπής;

Όχι. Το σχολικό βιβλίο δεν δίνει πουθενά σχέση που να συνδέει τη γωνία σκέδασης με το πόσο έκκεντρη είναι η κρούση, και δεν αναφέρει καθόλου παράμετρο κρούσης. Γι' αυτό εδώ η γωνία εκτροπής είναι ελεύθερη μεταβλητή που τη διαλέγεις εσύ. Ό,τι κι αν διαλέξεις, η φυσική που ισχύει είναι η ίδια: ορμή και κινητική ενέργεια διατηρούνται, και το άθροισμα των γωνιών βγαίνει 90°.

Ισχύει η ορθή γωνία και όταν οι μάζες είναι διαφορετικές;

Όχι. Η απόδειξη στηρίζεται στο ότι οι δύο μάζες είναι ίσες, γιατί μόνο τότε απλοποιούνται και η διανυσματική ορμή γίνεται υ₀ = υ₁΄ + υ₂΄. Με άνισες μάζες η γωνία ανάμεσα στις δύο τελικές ταχύτητες δεν είναι 90°. Γι' αυτό η προσομοίωση κρατά μία μόνο μάζα, κοινή και για τις δύο σφαίρες, ακριβώς όπως ζητά το πρόβλημα.

Γιατί στην κρούση με τοίχο η δεύτερη γραφική δείχνει την ορμή να μη διατηρείται;

Γιατί ο τοίχος δεν είναι στο σύστημα που ζωγραφίζεται. Η καμπύλη δείχνει την ορμή της σφαίρας και μόνο. Την ώρα της κρούσης ο τοίχος ασκεί δύναμη κάθετη στην επιφάνειά του, οπότε δίνει ώθηση στη σφαίρα κατά τη διεύθυνση x. Αν έβαζες μέσα και τον τοίχο μαζί με τη Γη, η ολική ορμή θα διατηρούνταν κανονικά.

Το εργαλείο είναι δωρεάν και θα μείνει δωρεάν

Αν θες να δουλέψεις μεθοδικά όλη τη Φυσική Προσανατολισμού, με σειρά και με ασκήσεις: Δες το μάθημα Φυσικής Γ Λυκείου