Ροπή και ισορροπία δοκού

Μια ομογενής δοκός πάνω σε δύο στηρίγματα, και ένα κιβώτιο που το σέρνεις όπου θέλεις. Η προσομοίωση λύνει τις δύο συνθήκες ισορροπίας και σου δείχνει πόσο σηκώνει το κάθε στήριγμα, με βέλη πάνω στη σκηνή και με μια γραφική που λέει ακριβώς πού σταματά η ισορροπία. Ανοίγει σε υπολογιστή και σε κινητό, δωρεάν και χωρίς λογαριασμό.

Τι μπορείς να αλλάξεις

Θέση του κιβωτίου x₁. Το κύριο κουμπί. Σύρε το κιβώτιο κατά μήκος της δοκού και δες τη μία δύναμη να μεγαλώνει όσο η άλλη μικραίνει. Το άθροισμά τους μένει σταθερό, ίσο με w + w₁.

Θέσεις των δύο στηριγμάτων. Το Α και το Β. Όσο πιο κοντά τα φέρνεις, τόσο πιο εύκολα ανατρέπεται η δοκός, και τόσο μεγαλύτερες γίνονται οι δυνάμεις. Το Β δεν μπορεί ποτέ να προσπεράσει το Α, γιατί το όριο ζει μέσα στον ίδιο τον δρομέα.

Βάρος δοκού w και βάρος κιβωτίου w₁. Η δοκός είναι ομογενής, οπότε το βάρος της ασκείται στο μέσο της. Το w₁ είναι που κάνει τη δουλειά της ανατροπής, και το w είναι που αντιστέκεται.

Μήκος δοκού L. Αλλάζει και το πού πέφτει το μέσο της, άρα και το σημείο εφαρμογής του βάρους της.

Τι να προσέξεις

Αρνητική δύναμη σημαίνει ανατροπή. Ένα στήριγμα μπορεί μόνο να σπρώχνει προς τα πάνω. Όταν η λύση βγάζει αρνητική δύναμη, σου λέει ότι για να ισορροπήσει η δοκός θα χρειαζόταν κάποιος να την τραβήξει προς τα κάτω. Δεν υπάρχει τέτοιος, οπότε η δοκός στρέφεται γύρω από το άλλο στήριγμα.

Το άθροισμα των ροπών βγαίνει μηδέν ως προς οποιοδήποτε σημείο. Η ένδειξη «Στ ως προς το μέσο» υπολογίζεται ως προς το μέσο της δοκού, δηλαδή ως προς σημείο που δεν χρησιμοποιήθηκε καθόλου στη λύση, και μένει καρφωμένη στο μηδέν ό,τι κι αν αλλάξεις.

Διάλεξε πόλο πάνω σε άγνωστη δύναμη. Αν πάρεις ροπές ως προς το Α, η δύναμη του Α έχει μοχλοβραχίονα μηδέν και φεύγει από την εξίσωση. Έτσι μένει μία εξίσωση με έναν άγνωστο. Αυτό ακριβώς κάνει το βιβλίο στο Παράδειγμα 4.3.

Το κιβώτιο πάνω από στήριγμα δεν σημαίνει μηδέν στο άλλο. Όταν το x₁ πέσει ακριβώς πάνω στο Β, η δύναμη στο Α δεν μηδενίζεται. Απλώς παύει να εξαρτάται από το βάρος του κιβωτίου, γιατί η ροπή του κιβωτίου ως προς το Β έγινε μηδέν. Μένει μόνο η ροπή του βάρους της δοκού.

Η γραφική είναι δύο ευθείες. Και οι δύο δυνάμεις είναι πρωτοβάθμιες συναρτήσεις της θέσης του κιβωτίου. Γι' αυτό στις ασκήσεις όλα λύνονται με μια απλή πράξη, χωρίς τίποτα περίπλοκο.

Το ρολόι δεν κάνει τίποτα εδώ. Το φαινόμενο είναι στατικό, η εικόνα δεν αλλάζει με τον χρόνο. Τα όργανά σου είναι οι δρομείς των παραμέτρων.

Σύνδεση με τις Πανελλαδικές

Η ισορροπία στερεού είναι από τα πιο σταθερά ερωτήματα του κεφαλαίου του στερεού. Το τυπικό σχήμα είναι ακριβώς αυτό: δοκός, δύο σημεία στήριξης ή δύο σκοινιά, ένα φορτίο κάπου πάνω της, και ζητούνται οι δυνάμεις ή η οριακή θέση πριν την ανατροπή.

Το σενάριο της άσκησης 4.42 είναι έτοιμο μέσα στη σελίδα. Δοκός 4 m και 150 N πάνω σε δύο στηρίγματα που απέχουν 1 m από κάθε άκρο, με ελαιοχρωματιστή 700 N. Η απάντηση του βιβλίου είναι 79 cm από κάθε άκρη, και εδώ τη βλέπεις να βγαίνει: η δύναμη στο Α μηδενίζεται στα 3,214 m, δηλαδή 0,786 m πριν το δεξί άκρο.

Το δεύτερο σενάριο είναι το Παράδειγμα 4.3 του βιβλίου, με τα δύο σκοινιά στα άκρα. Οι απαντήσεις 550 N και 250 N βγαίνουν ακριβώς. Πρόσεξε ότι με τα στηρίγματα στα άκρα δεν υπάρχει καθόλου ανατροπή, όσο και να μετακινήσεις το φορτίο.

Συχνές ερωτήσεις

Πώς διαλέγω σημείο για να πάρω ροπές;

Διάλεξε το σημείο από το οποίο περνά μία από τις άγνωστες δυνάμεις. Ο μοχλοβραχίονάς της γίνεται μηδέν, οπότε η ροπή της είναι μηδέν και εξαφανίζεται από την εξίσωση. Έτσι μένεις με μία εξίσωση και έναν άγνωστο. Στη συνέχεια η ΣF = 0 σου δίνει και τον δεύτερο.

Γιατί το βάρος της δοκού ασκείται στο μέσο;

Επειδή η δοκός είναι ομογενής, δηλαδή έχει την ίδια πυκνότητα και το ίδιο πάχος παντού. Τότε το κέντρο μάζας της πέφτει στο γεωμετρικό της μέσο, στο L/2. Αν δεν ήταν ομογενής, το σημείο εφαρμογής θα ήταν αλλού και το πρόβλημα θα σου το έδινε.

Τι σημαίνει αρνητική τιμή στη γραφική;

Ότι η δοκός δεν ισορροπεί με αυτή τη ρύθμιση. Η λύση των εξισώσεων υπάρχει πάντα ως αριθμός, αλλά έχει φυσικό νόημα μόνο όταν και οι δύο δυνάμεις βγαίνουν προς τα πάνω. Η σκιασμένη περιοχή της γραφικής είναι ακριβώς οι θέσεις όπου αυτό χαλάει.

Η άσκησή μου έχει σκοινιά αντί για στηρίγματα. Αλλάζει κάτι;

Στις εξισώσεις όχι. Ένα κατακόρυφο σκοινί δεμένο στη δοκό την τραβάει προς τα πάνω, όπως ακριβώς ένα στήριγμα την σπρώχνει προς τα πάνω. Γι' αυτό το δεύτερο σενάριο, που στο βιβλίο έχει σκοινιά, μπαίνει εδώ αυτούσιο. Η μόνη διαφορά είναι εννοιολογική: το σκοινί χάνει την τάση του, ενώ το στήριγμα χάνει την επαφή του.

Το εργαλείο είναι δωρεάν και θα μείνει δωρεάν

Αν θες να δουλέψεις μεθοδικά όλη τη Φυσική Προσανατολισμού, με σειρά και με ασκήσεις: Δες το μάθημα Φυσικής Γ Λυκείου