Σώμα πάνω σε ταλαντωτή: η οριακή τριβή

Ένα σώμα M ταλαντώνεται σε λείο δάπεδο δεμένο σε ελατήριο, και πάνω του κάθεται ένα δεύτερο σώμα m που δεν είναι δεμένο πουθενά. Το μόνο που το κρατά να ταλαντώνεται μαζί είναι η στατική τριβή στην επαφή τους. Στην πρώτη γραφική βλέπεις ταυτόχρονα δύο πράγματα: την τριβή που απαιτείται κάθε στιγμή και το ταβάνι που μπορεί να δώσει η επαφή. Ανεβάζεις το πλάτος και τα βλέπεις να πλησιάζουν, ώσπου να ακουμπήσουν. Δωρεάν, χωρίς λογαριασμό.

Τι μπορείς να αλλάξεις

Πλάτος A. Είναι ο δρομέας που κάνει τη δουλειά. Όσο μεγαλώνει, μεγαλώνει η επιτάχυνση στα άκρα, άρα και η τριβή που χρειάζεται το πάνω σώμα για να ακολουθήσει. Ο δρομέας σταματά ακριβώς στο μεγαλύτερο πλάτος που αντέχει η τριβή, το Amax. Πιο πέρα δεν σε αφήνει να πας, γιατί εκεί το πάνω σώμα θα γλιστρούσε και δεν θα έκανε πια απλή αρμονική ταλάντωση.

Μάζες M και m. Και οι δύο μπαίνουν στο ω = √(K/(M+m)), δηλαδή αλλάζουν την περίοδο. Πρόσεξε τι κάνει ειδικά το m: όταν το ανεβάζεις, το επιτρεπτό πλάτος μεγαλώνει.

Σταθερά ελατηρίου K. Πιο σκληρό ελατήριο σημαίνει μεγαλύτερο ω, μεγαλύτερη επιτάχυνση για το ίδιο πλάτος, άρα μικρότερο περιθώριο.

Συντελεστής οριακής στατικής τριβής μs. Ανεβοκατεβάζει τους δύο οριζόντιους φράχτες. Κατέβασέ τον και θα δεις το επιτρεπτό πλάτος να μαζεύεται μαζί τους.

Τι να προσέξεις

Η τριβή είναι η δύναμη επαναφοράς του πάνω σώματος. Οριζόντια δεν δέχεται τίποτε άλλο: ούτε ελατήριο, ούτε κάποια άλλη δύναμη. Άρα από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, Tτρ = m·a, και επειδή a = −ω²x βγαίνει Tτρ = −m ω² x. Είναι ευθεία με αρνητική κλίση, ακριβώς όπως η ΣF = −Dx της απλής αρμονικής ταλάντωσης.

Η τριβή δεν είναι σταθερή. Μηδενίζεται στη θέση ισορροπίας και γίνεται μέγιστη στα άκρα, εκεί που η ταχύτητα μηδενίζεται. Το μs·m·g δεν είναι η τριβή, είναι το ανώτατο όριο που μπορεί να φτάσει.

Η μάζα του πάνω σώματος απλοποιείται. Η απαιτούμενη τριβή είναι m·ω²·A και η διαθέσιμη μs·m·g. Και οι δύο έχουν μέσα το m, οπότε φεύγει και μένει η συνθήκη ω²A ≤ μs·g, δηλαδή amax ≤ μs·g. Το m δεν εξαφανίζεται εντελώς: μένει μέσα στο ω, γι' αυτό ένα βαρύτερο πάνω σώμα επιτρέπει μεγαλύτερο πλάτος.

Η στατική τριβή εδώ δεν αποσβένει την ταλάντωση. Μόλις έχεις διαβάσει ότι η τριβή κάνει την ταλάντωση φθίνουσα, και είναι εύκολο να το μεταφέρεις εδώ. Δεν ισχύει: χωρίς σχετική ολίσθηση, η τριβή δεν παράγει έργο, άρα δεν χάνεται ενέργεια. Δες το x-t, το πλάτος δεν λιγοστεύει, και η ένδειξη E = ½KA² μένει σταθερή. Γι' αυτό ακριβώς το δάπεδο κάτω από το M είναι λείο: τριβή με το δάπεδο θα σήμαινε φθίνουσα ταλάντωση και άλλες εξισώσεις.

Σύνδεση με τις Πανελλαδικές

Αυτή η διάταξη δεν υπάρχει ως άσκηση ούτε στο σχολικό βιβλίο ούτε στην τράπεζα θεμάτων του ΙΕΠ, οπότε μην την περιμένεις αυτούσια. Τα δύο εργαλεία της όμως ζητούνται συνέχεια. Το πρώτο είναι ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα πάνω σε ένα μόνο σώμα ενός συστήματος, με την επιτάχυνση της ταλάντωσης a = −ω²x. Το δεύτερο είναι η δομή απαιτούμενη δύναμη έναντι διαθέσιμης, που είναι ακριβώς ο τρόπος που λύνονται τα θέματα ισορροπίας με τριβή στο κεφάλαιο του στερεού.

Ο νόμος της οριακής στατικής τριβής, Tτρ ≤ μs·N, είναι ύλη της Φυσικής της Α΄ Λυκείου. Το βιβλίο της Γ΄ Λυκείου δεν τον ξαναγράφει, χρησιμοποιεί όμως τον ίδιο όρο και το ίδιο σύμβολο στα προβλήματα 4.58 και 4.67 του στερεού, όπου ζητά τον συντελεστή οριακής στατικής τριβής.

Τα δύο έτοιμα σενάρια δίνουν στρογγυλούς αριθμούς για να ελέγξεις τις πράξεις σου. Στο πρώτο, με M + m = 1 kg και K = 100 N/m, βγαίνει ω = 10 rad/s και το όριο πέφτει στα 5 cm, με απαιτούμενη και διαθέσιμη τριβή ίσες, 2,5 N και οι δύο. Στο δεύτερο, με διπλάσιο πάνω σώμα, το όριο ανεβαίνει στα 7,5 cm.

Συχνές ερωτήσεις

Πώς καταλαβαίνω ότι το πάνω σώμα είναι στο όριο;

Όταν ο δείκτης της πρώτης γραφικής ακουμπά τον οριζόντιο φράχτη στα δύο άκρα της κίνησης. Ισοδύναμα, όταν η ένδειξη Tτρ,max γίνει ίση με την Ts,max, ή όταν το πλάτος A φτάσει το Amax.

Γιατί δεν με αφήνει να ανεβάσω κι άλλο το πλάτος;

Γιατί πάνω από το Amax το πάνω σώμα ολισθαίνει. Τότε παύει να ισχύει η τριβή που δείχνει η προσομοίωση, μπαίνει τριβή ολίσθησης, και το πάνω σώμα δεν κάνει πια απλή αρμονική ταλάντωση. Αυτό είναι εκτός ύλης ως μοντέλο, οπότε ο δρομέας σταματά στο όριο και σου δείχνει το πλησίασμα.

Αν διπλασιάσω τη μάζα του πάνω σώματος, γλιστρά ευκολότερα;

Όχι, δυσκολότερα. Η τριβή που χρειάζεται διπλασιάζεται, αλλά διπλασιάζεται και η τριβή που μπορεί να δώσει η επαφή, γιατί διπλασιάζεται το βάρος και μαζί του η κάθετη δύναμη. Το κριτήριο ω²A ≤ μs·g δεν κουβαλά καθόλου το m, και επειδή το βαρύτερο σώμα ρίχνει το ω, το περιθώριο μεγαλώνει.

Γιατί η τριβή δεν μειώνει το πλάτος με τον χρόνο;

Επειδή δεν υπάρχει ολίσθηση. Το έργο μιας δύναμης χρειάζεται μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της ως προς την επιφάνεια. Τα δύο σώματα κινούνται μαζί, δεν γλιστρούν το ένα πάνω στο άλλο, οπότε δεν χάνεται ενέργεια σε θερμότητα και η ταλάντωση μένει αμείωτη.

Το εργαλείο είναι δωρεάν και θα μείνει δωρεάν

Αν θες να δουλέψεις μεθοδικά όλη τη Φυσική Προσανατολισμού, με σειρά και με ασκήσεις: Δες το μάθημα Φυσικής Γ Λυκείου