Χάσιμο επαφής σε κατακόρυφη ταλάντωση

Ένα σώμα κάθεται πάνω σε ένα άλλο που ταλαντώνεται σε κατακόρυφο ελατήριο. Δεν είναι δεμένο, απλώς ακουμπά. Όσο το πλάτος είναι μικρό ταξιδεύουν μαζί, όμως υπάρχει ένα πλάτος πάνω από το οποίο το πάνω σώμα δεν μπορεί πια να ακολουθήσει. Εδώ βλέπεις ακριβώς πού βρίσκεται αυτό το όριο και γιατί. Ανοίγει σε υπολογιστή και σε κινητό, δωρεάν και χωρίς λογαριασμό.

Τι μπορείς να αλλάξεις

Το πλάτος A. Είναι ο δρομέας που κάνει τη δουλειά. Ανέβασέ τον και κοίτα ταυτόχρονα δύο πράγματα: το βέλος της δύναμης επαφής στη σκηνή να κονταίνει στην ανώτατη θέση, και την καμπύλη του N στην πρώτη γραφική να κατεβαίνει προς τη γραμμή του μηδενός. Το βέλος του βάρους δίπλα του έχει σταθερό μήκος, όσο ακριβώς το ύψος του πάνω σώματος, οπότε τα δύο συγκρίνονται με το μάτι: όσο το βέλος του N φτάνει την πάνω έδρα, N = mg. Ο δρομέας σταματά μόνος του ακριβώς στο οριακό πλάτος, γιατί πιο πάνω τα σώματα δεν θα ταλαντώνονταν πια μαζί.

Οι δύο μάζες. Το κάτω σώμα M είναι στερεωμένο στο ελατήριο, το πάνω σώμα m απλώς κάθεται. Δοκίμασε να ανεβάσεις μόνο το m και δες το οριακό πλάτος να μεγαλώνει. Είναι το ακριβώς αντίθετο από ό,τι περιμένουν οι περισσότεροι.

Η σταθερά K του ελατηρίου. Πιο σκληρό ελατήριο σημαίνει μεγαλύτερο ω, άρα μικρότερο οριακό πλάτος. Με K = 300 N/m και ελαφριά σώματα η επαφή χάνεται με ταλάντωση κάτω από δύο εκατοστά.

Τι να προσέξεις

Η δύναμη επαφής μόνο σπρώχνει, ποτέ δεν τραβά. Μια επιφάνεια δεν κολλάει το σώμα που ακουμπά πάνω της. Αν οι πράξεις σου βγάλουν αρνητικό N, δεν έχεις βρει μια δύναμη που τραβά, έχεις βρει ότι τα σώματα έχουν ήδη χωρίσει. Αυτό ακριβώς κάνει και το Πρόβλημα 1.46 του σχολικού στην οριζόντια μορφή του.

Η επαφή χάνεται στην ανώτατη θέση, όχι στην κατώτατη. Είναι το πιο συχνό λάθος. Κάτω η πίεση είναι η μεγαλύτερη, γιατί εκεί η επιτάχυνση δείχνει προς τα πάνω και το κάτω σώμα πρέπει να σπρώξει το πάνω ακόμη πιο δυνατά από το βάρος του. Πάνω συμβαίνει το αντίθετο. Γράψε τον νόμο του Νεύτωνα μόνο για το πάνω σώμα, N − mg = ma, βάλε a = −ω²x και βγάζεις N = m(g − ω²x). Το N ελαχιστοποιείται εκεί που το x είναι μέγιστο.

Το οριακό πλάτος είναι το ίδιο νούμερο με τη στατική συσπείρωση του ελατηρίου. Δεν είναι σύμπτωση. Στην ανώτατη θέση του ορίου το ελατήριο έχει επιστρέψει στο φυσικό του μήκος, οπότε δεν ασκεί καμία δύναμη. Τα δύο σώματα πέφτουν ελεύθερα, με επιτάχυνση g προς τα κάτω, και σε ελεύθερη πτώση κανένα σώμα δεν πιέζει το άλλο. Παρακολούθησε την ένδειξη «δύναμη ελατηρίου» να μηδενίζεται την ίδια ακριβώς στιγμή με το N.

Η δύναμη του ελατηρίου δεν είναι η δύναμη επαναφοράς. Είναι δύο διαφορετικά μεγέθη, και εδώ υπάρχει και τρίτο, η δύναμη επαφής. Η δύναμη επαναφοράς είναι η συνισταμένη βάρους και δύναμης ελατηρίου, και μόνο αυτή γράφεται ΣF = −Kx. Η ένδειξη «δύναμη ελατηρίου» παίρνει πολύ μεγαλύτερες τιμές, ακριβώς όπως το ερώτημα (ε) του Προβλήματος 1.38.

Κοίτα τον λόγο ω²A/g. Είναι ο δείκτης εγγύτητας στο όριο. Όσο πλησιάζει τη μονάδα, τόσο η καμπύλη του N ακουμπά το μηδέν. Στη μονάδα το αγγίζει για μία στιγμή, ακριβώς στην ανώτατη θέση, με την ταχύτητα μηδενική. Είναι η οριακή περίπτωση που ζητούν οι εξετάσεις.

Η τρίτη γραφική τα λέει όλα με μία ευθεία. Το N ως προς το x είναι ευθεία με κλίση −mω². Η διακεκομμένη είναι ολόκληρη η ευθεία, ως το σημείο που τέμνει το μηδέν. Η συνεχής είναι μόνο το κομμάτι που διανύει η ταλάντωσή σου. Μεγάλωσε το πλάτος και δες το συνεχές κομμάτι να απλώνεται μέχρι να φτάσει την τομή.

Σύνδεση με τις Πανελλαδικές

Η διάταξη «σώμα πάνω σε σώμα σε κατακόρυφο ελατήριο» εμφανίζεται στην τράπεζα θεμάτων του ΙΕΠ και τα δύο σενάρια της σελίδας είναι έτοιμα από εκεί. Στο πρώτο, σώμα 3 kg κάθεται πάνω σε σώμα 1 kg δεμένο σε ελατήριο 100 N/m. Στο δεύτερο, ο βάτραχος 0,2 kg κάθεται πάνω σε δίσκο 1 kg σε ελατήριο 200 N/m.

Πρόσεξε κάτι σημαντικό. Και στα δύο θέματα το πάνω σώμα φεύγει από άλλη αιτία, από κρούση στο ένα και από άλμα στο άλλο. Η ερώτηση που απαντά η προσομοίωση, πόσο μπορεί να μεγαλώσει το πλάτος πριν φύγει μόνο του, δεν είναι το ερώτημα των θεμάτων. Δανειζόμαστε τη διάταξη και τα δεδομένα τους.

Το ίδιο ισχύει και για τη σχέση. Η συνθήκη ω²A = g και ο τύπος Aορ = g/ω² δεν είναι τυπωμένοι ούτε στο σχολικό ούτε στα θέματα. Τους βγάζεις σε δύο γραμμές από τον νόμο του Νεύτωνα, όμως στο γραπτό σου πρέπει να τους παράγεις, όχι να τους επικαλεστείς σαν τύπο βιβλίου.

Το κομμάτι που είναι κυριολεκτικά μέσα στο βιβλίο είναι η αρχή. Πρόβλημα 1.46, σελίδα 40, με επίσημη απάντηση: δύο σώματα που εφάπτονται σε οριζόντιο ελατήριο αποχωρίζονται στη θέση ισορροπίας, ακριβώς εκεί που μηδενίζεται η δύναμη επαφής. Στην κατακόρυφη μορφή η βαρύτητα μετακινεί αυτό το μηδέν από τη θέση ισορροπίας στην ανώτατη θέση.

Συχνές ερωτήσεις

Γιατί η μάζα του πάνω σώματος αλλάζει το οριακό πλάτος, αφού απλοποιείται;

Επειδή απλοποιείται μόνο από τη μία μεριά. Στη συνθήκη N = 0 το m όντως φεύγει και μένει ω²A = g. Κρύβεται όμως μέσα στο ω, γιατί το ελατήριο κουβαλά και τα δύο σώματα: ω² = K/(M+m). Βαρύτερο πάνω σώμα σημαίνει μικρότερο ω, άρα μεγαλύτερο Aορ = g(M+m)/K.

Με ποια ταχύτητα φεύγει το πάνω σώμα στην οριακή περίπτωση;

Με μηδενική. Ακριβώς στο οριακό πλάτος η επαφή χάνεται στην ανώτατη θέση, εκεί που η ταχύτητα μηδενίζεται. Το σώμα δεν εκτοξεύεται, απλώς για μια στιγμή δεν πιέζει τίποτα και ξαναπέφτει. Γι αυτό η οριακή περίπτωση είναι η καθαρότερη και είναι αυτή που ζητούν τα θέματα.

Γιατί ο δρομέας του πλάτους δεν με αφήνει να ανεβώ πιο πάνω;

Επειδή πάνω από το όριο δεν υπάρχει πια κοινή ταλάντωση. Το πάνω σώμα θα έκανε ελεύθερη βολή και το κάτω θα άλλαζε περίοδο και θέση ισορροπίας, μια κίνηση που δεν είναι πια περιοδική και που τελειώνει με μια προσγείωση εκτός ύλης. Η προσομοίωση σταματά εκεί που σταματά και η φυσική του κεφαλαίου.

Το ελατήριο επιμηκύνεται ποτέ σε αυτή την ταλάντωση;

Όχι, μέσα στο επιτρεπτό πλάτος. Στην ανώτατη θέση φτάνει το πολύ μέχρι το φυσικό του μήκος, και αυτό συμβαίνει ακριβώς στο όριο. Άρα το κάτω σώμα θα μπορούσε και να μην είναι δεμένο, θα αρκούσε να κάθεται πάνω στο ελατήριο.

Η άσκησή μου δίνει την ταχύτητα και όχι το πλάτος. Τι κάνω;

Βρίσκεις πρώτα το πλάτος από τα δεδομένα σου, με A = υmax/ω ή από την ενέργεια, και μετά ελέγχεις αν ξεπερνά το g/ω². Η προσομοίωση δουλεύει με το πλάτος επειδή αυτό είναι το μέγεθος που μπαίνει στη συνθήκη. Ό,τι σου δίνει το θέμα, το μετατρέπεις σε πλάτος και συνεχίζεις.

Το εργαλείο είναι δωρεάν και θα μείνει δωρεάν

Αν θες να δουλέψεις μεθοδικά όλη τη Φυσική Προσανατολισμού, με σειρά και με ασκήσεις: Δες το μάθημα Φυσικής Γ Λυκείου